Задача 1
Условие (кратко)
Уравнение x² + px + q = 0 имеет корни x₁ и x₂. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа x₁/x₂ и x₂/x₁.
Решение
Числа \(\dfrac{x_1}{x_2}\) и \(\dfrac{x_2}{x_1}\) имеют смысл, если корни не равны нулю, то есть \(q = x_1x_2 \ne 0\).
По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -p\), \(x_1x_2 = q\). Тогда
\[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = p^2 - 2q.\]
Сумма новых корней:
\[\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{p^2 - 2q}{q}.\]
Произведение: \(\dfrac{x_1}{x_2} \cdot \dfrac{x_2}{x_1} = 1\).
Уравнение \(x^2 - \dfrac{p^2 - 2q}{q}x + 1 = 0\); умножим на \(q\):
\[qx^2 - (p^2 - 2q)x + q = 0.\]
Проверка на примере: при \(p = -7\), \(q = 10\) (корни 2 и 5) получаем \(10x^2 - 29x + 10 = 0\), его корни \(0{,}4\) и \(2{,}5\).
Ответ
qx² − (p² − 2q)x + q = 0 (при q ≠ 0)
Почему так
Сумма x₁/x₂ + x₂/x₁ выражается через x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂, произведение равно 1.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».