Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 784

Задача 1

Условие (кратко)

а) Составить какой-нибудь квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа −7 и 2.

Решение

Трёхчлен $$(x - x_1)(x - x_2)$$ имеет корни $$x_1$$ и $$x_2$$ . Возьмём

\[(x + 7)(x - 2) = x^2 - 2x + 7x - 14 = x^2 + 5x - 14.\]

Подходит и любой трёхчлен

\(a(x^2 + 5x - 14)\)

, где

a \ne 0

Ответ

Например, x² + 5x − 14

Почему так

Трёхчлен (x − x₁)(x − x₂) обращается в нуль при x = x₁ и x = x₂.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Составить какой-нибудь квадратный трёхчлен, корнями которого являются числа 3 − √2 и 3 + √2.

Решение

Возьмём $(x - (3 - \sqrt{2}))(x - (3 + \sqrt{2})) = ((x - 3) + \sqrt{2})((x - 3) - \sqrt{2})$ :

\[(x - 3)^2 - 2 = x^2 - 6x + 9 - 2 = x^2 - 6x + 7.\]

Иначе: сумма корней 6, произведение

\(9 - 2 = 7\)

, по теореме, обратной теореме Виета, подходит

\(x^2 - 6x + 7\)

Ответ

Например, x² − 6x + 7

Почему так

Произведение (x − 3 + √2)(x − 3 − √2) — разность квадратов.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-784/