Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 786

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что трёхчлен 2x² − 10x + 3 имеет корни, и найти их сумму и произведение.

Решение

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 100 - 24 = 76 > 0$ — трёхчлен имеет два корня.

По теореме Виета для уравнения $$2x^2 - 10x + 3 = 0$$ :

x_1 + x_2 = -\frac{-10}{2} = 5, \qquad x_1x_2 = \frac{3}{2} = 1{,}5.

Ответ

Корни есть (D = 76 > 0); сумма 5, произведение 1,5

Почему так

При D > 0 корни есть; сумма корней ax² + bx + c равна −b/a, произведение c/a.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что трёхчлен (1/3)x² + 7x − 2 имеет корни, и найти их сумму и произведение.

Решение

$D = 7^2 - 4 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot (-2) = 49 + \dfrac{8}{3} > 0$ — корни есть (это видно и так: старший коэффициент и свободный член разных знаков).

По теореме Виета:

x_1 + x_2 = -\frac{7}{1/3} = -21, \qquad x_1x_2 = \frac{-2}{1/3} = -6.

Ответ

Корни есть (D > 0); сумма −21, произведение −6

Почему так

Если a и c разных знаков, то D = b² − 4ac > 0; дальше — теорема Виета.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Доказать, что трёхчлен 0,5x² + 6x + 1 имеет корни, и найти их сумму и произведение.

Решение

$D = 6^2 - 4 \cdot 0{,}5 \cdot 1 = 36 - 2 = 34 > 0$ — трёхчлен имеет два корня.

По теореме Виета:

x_1 + x_2 = -\frac{6}{0{,}5} = -12, \qquad x_1x_2 = \frac{1}{0{,}5} = 2.

Ответ

Корни есть (D = 34 > 0); сумма −12, произведение 2

Почему так

При D > 0 корни есть; сумма корней равна −b/a, произведение c/a.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Доказать, что трёхчлен −(1/2)x² + (1/3)x + 1/2 имеет корни, и найти их сумму и произведение.

Решение

$D = \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 - 4 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{9} + 1 = \dfrac{10}{9} > 0$ — корни есть.

По теореме Виета:

x_1 + x_2 = -\frac{1/3}{-1/2} = \frac{2}{3}, \qquad x_1x_2 = \frac{1/2}{-1/2} = -1.

Ответ

Корни есть (D = 10/9 > 0); сумма 2/3, произведение −1

Почему так

Старший коэффициент и свободный член разных знаков, поэтому D > 0; сумма −b/a, произведение c/a.

Подробнее — в теме «Теорема Виета».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-786/