Задача 1
Условие (кратко)
a и b — корни трёхчлена x² + px + q, ab = 4 и √a + √b = 3. Найти a и b.
Решение
Числа \(a\) и \(b\) неотрицательны (под корнем). Возведём в квадрат \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = 3\):
\[a + 2\sqrt{ab} + b = 9.\]
Так как \(ab = 4\), \(\sqrt{ab} = 2\), поэтому \(a + b = 9 - 4 = 5\).
Числа с суммой 5 и произведением 4 — корни уравнения \(t^2 - 5t + 4 = 0\), откуда \(t_1 = 1\), \(t_2 = 4\).
Проверка: \(\sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3\), \(1 \cdot 4 = 4\).
Значит, одно из чисел равно 1, другое 4 (при этом \(p = -5\), \(q = 4\)).
Ответ
a = 1, b = 4 или a = 4, b = 1
Почему так
Возведя √a + √b = 3 в квадрат, находим a + b; по сумме и произведению числа находятся по теореме Виета.
Подробнее — в теме «Теорема Виета».