Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 790

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что квадратный трёхчлен −x² + 20x − 103 не принимает положительных значений.

Решение

Выделим квадрат двучлена:

\[-x^2 + 20x - 103 = -(x^2 - 20x + 100) + 100 - 103 = -(x - 10)^2 - 3.\]

При любом

\(x\)

имеем

(x - 10)^2 \ge 0

, значит,

-(x - 10)^2 - 3 \le -3 < 0

Трёхчлен принимает только отрицательные значения (наибольшее $$-3$$ при $$x = 10$$ ), положительных значений нет.

Ответ

Доказано: −x² + 20x − 103 = −(x − 10)² − 3 ≤ −3 < 0

Почему так

После выделения квадрата видно, что значение не больше −3.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что квадратный трёхчлен x² − 16x + 65 не принимает отрицательных значений.

Решение

Выделим квадрат двучлена:

\[x^2 - 16x + 65 = (x^2 - 16x + 64) + 1 = (x - 8)^2 + 1.\]

При любом

\(x\)

имеем

(x - 8)^2 \ge 0

, значит,

(x - 8)^2 + 1 \ge 1 > 0

Трёхчлен принимает только положительные значения, отрицательных нет.

Ответ

Доказано: x² − 16x + 65 = (x − 8)² + 1 ≥ 1 > 0

Почему так

Квадрат неотрицателен, поэтому сумма квадрата и 1 не меньше 1.

Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-790/