Задача 1
Условие (кратко)
а) Найти наибольшее или наименьшее значение квадратного трёхчлена 3x² − 4x + 5.
Решение
\[3x^2 - 4x + 5 = 3\left(x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}\right) - \frac{4}{3} + 5 = 3\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{11}{3}.\]
Так как \(\left(x - \dfrac{2}{3}\right)^2 \ge 0\), трёхчлен не меньше \(\dfrac{11}{3}\), и это значение достигается при \(x = \dfrac{2}{3}\).
Наибольшего значения нет: при больших \(|x|\) трёхчлен неограниченно растёт.
Ответ
Наименьшее значение 11/3 = 3 2/3 (при x = 2/3); наибольшего нет
Почему так
Выделяем квадрат двучлена: при a > 0 трёхчлен имеет наименьшее значение.
Подробнее — в теме «Квадратный трёхчлен и его корни».