Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 793

Задача 1

Условие (кратко)

а) Разложить на множители квадратный трёхчлен 0,8x² − 19,8x − 5.

Решение

Найдём корни уравнения $0{,}8x^2 - 19{,}8x - 5 = 0$ , умножив его на 5:

\[4x^2 - 99x - 25 = 0.\]

D = 99^2 + 4 \cdot 4 \cdot 25 = 9801 + 400 = 10\,201 = 101^2

x_1 = \frac{99 + 101}{8} = 25, \qquad x_2 = \frac{99 - 101}{8} = -\frac{1}{4} = -0{,}25.

По формуле

\(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\)

0{,}8x^2 - 19{,}8x - 5 = 0{,}8(x - 25)(x + 0{,}25).

Ответ

0,8(x − 25)(x + 0,25)

Почему так

Квадратный трёхчлен с корнями x₁ и x₂ равен a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Разложить на множители квадратный трёхчлен 3,5 − 3 1/3 x + (2/3)x².

Решение

Запишем трёхчлен по убыванию степеней: $\dfrac{2}{3}x^2 - \dfrac{10}{3}x + 3{,}5$ . Корни уравнения найдём, умножив его на 6:

\[4x^2 - 20x + 21 = 0.\]

\(D = 400 - 336 = 64\)

x_1 = \frac{20 - 8}{8} = 1{,}5, \qquad x_2 = \frac{20 + 8}{8} = 3{,}5.

3{,}5 - 3\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}x^2 = \frac{2}{3}(x - 1{,}5)(x - 3{,}5).

Ответ

(2/3)(x − 1,5)(x − 3,5)

Почему так

Находим корни трёхчлена и пользуемся формулой a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Разложить на множители квадратный трёхчлен x² + x√2 − 2.

Решение

Корни уравнения $x^2 + \sqrt{2}x - 2 = 0$ найдём по формуле, $$D = 2 + 8 = 10$$ ,

x_1 = \frac{-\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}, \qquad x_2 = \frac{-\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}.

x^2 + x\sqrt{2} - 2 = \left(x - \frac{\sqrt{10} - \sqrt{2}}{2}\right)\left(x + \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}\right).

Ответ

(x − (√10 − √2)/2)(x + (√10 + √2)/2)

Почему так

Корни находим по формуле, затем ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Разложить на множители квадратный трёхчлен x² − x√6 + 1.

Решение

Корни уравнения $x^2 - \sqrt{6}x + 1 = 0$ найдём по формуле, $$D = 6 - 4 = 2$$ ,

x_{1,2} = \frac{\sqrt{6} \pm \sqrt{2}}{2}.

x^2 - x\sqrt{6} + 1 = \left(x - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}\right)\left(x - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}\right).

Ответ

(x − (√6 − √2)/2)(x − (√6 + √2)/2)

Почему так

Корни находим по формуле, затем ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-793/