Разложение квадратного трёхчлена на множители

Представьте, что у вас есть прямоугольный огород площадью \(x^2 + 7x + 12\) квадратных метров, и вы хотите узнать его длину и ширину. Площадь — это произведение сторон. Если удастся записать \(x^2 + 7x + 12\) как \((x + 3)(x + 4)\), то стороны найдены: \(x + 3\) и \(x + 4\). Разложить трёхчлен на множители — это и значит «найти стороны» по известной «площади».

С числами вы это уже делали: \(12 = 3 \cdot 4\), \(35 = 5 \cdot 7\). С многочленами задача та же, только множители — не числа, а выражения первой степени вроде \(x + 3\) или \(2x - 1\). Разложенная запись удобнее: по ней сразу видно, при каких \(x\) выражение обращается в нуль, какой у него знак, и её легко сокращать в дробях.

Главное правило

Чтобы разложить квадратный трёхчлен, не нужно угадывать скобки. Достаточно найти его корни — числа, при которых трёхчлен равен нулю. Если \(x_1\) и \(x_2\) — корни трёхчлена \(ax^2 + bx + c\), то

Почему это верно? По теореме Виета \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) и \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\). Вынесем \(a\) за скобки и подставим:

Последнее равенство легко проверить, раскрыв скобки.

Обратите внимание на три детали.

• Множитель \(a\) впереди обязателен. Скобки \((x - x_1)(x - x_2)\) дают трёхчлен со старшим коэффициентом 1. Чтобы вернуть \(a\), его ставят перед скобками.
• В скобке стоит «минус корень». Если корень равен \(-5\), скобка будет \((x - (-5)) = (x + 5)\).
• Дробь из скобки можно убрать. Например, \(3\left(x - \dfrac{1}{3}\right) = 3x - 1\). Множитель \(a\) (или его часть) «вносят» в скобку с дробным корнем.

Один корень и нет корней

Если дискриминант равен нулю, считают, что у трёхчлена два равных корня \(x_1 = x_2\). Тогда разложение — квадрат: \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2\). Например, \(2x^2 - 8x + 8 = 2(x - 2)^2\).

Если дискриминант отрицательный, корней нет. Такой трёхчлен нельзя разложить на множители первой степени. Если бы было \(ax^2 + bx + c = (kx + m)(px + q)\), то при \(x = -\dfrac{m}{k}\) произведение обращалось бы в нуль — значит, у трёхчлена был бы корень. А его нет.

Почему скобки «знают» корни

Посмотрите на произведение \((x - 2)(x - 5)\). Оно равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, то есть при \(x = 2\) или \(x = 5\). При всех остальных \(x\) оба множителя отличны от нуля, и произведение тоже. Поэтому корни трёхчлена и числа в скобках всегда совпадают: каждая скобка «отвечает» за свой корень.

Эту связь удобно использовать в обе стороны. Знаете корни — сразу пишете разложение. Видите разложение — сразу называете корни, ничего не решая. Например, у трёхчлена \(4(x + 1)(x - 7)\) корни \(-1\) и \(7\).

Можно разложить трёхчлен и без теоремы, способом группировки. Для \(x^2 - 7x + 10\) разобьём \(-7x\) на \(-2x - 5x\), получим \(x^2 - 2x - 5x + 10 = x(x - 2) - 5(x - 2) = (x - 2)(x - 5)\). Но чтобы догадаться, как разбить средний член, всё равно нужно знать корни. Поэтому надёжнее сразу искать корни через дискриминант или по теореме Виета.

Зачем это нужно

Чаще всего разложение нужно, чтобы сократить дробь. Числитель и знаменатель раскладывают на множители, и если у них есть общая скобка, её сокращают. Так громоздкая дробь превращается в простую, а значения считаются почти устно.

Как решать

1. Если старший коэффициент равен 1, попробуйте подобрать корни по теореме Виета (сумма \(-b\), произведение \(c\)). Иначе решите уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) через дискриминант.
2. Если \(D < 0\), напишите, что трёхчлен на множители первой степени не раскладывается.
3. Если \(D \ge 0\), запишите \(a(x - x_1)(x - x_2)\); при \(D = 0\) — \(a(x - x_1)^2\).
4. Если корни дробные, внесите множитель \(a\) в скобки, чтобы избавиться от дробей.
5. Проверьте себя: раскройте скобки или подставьте любое число в обе записи — значения должны совпасть.