Задача 1
Условие (кратко)
m — целое число. Найти целые корни трёхчлена mx² + (m − 3)x − 3.
Решение
Это квадратный трёхчлен, поэтому \(m \ne 0\). Разложим его на множители группировкой:
\[mx^2 + (m - 3)x - 3 = mx^2 + mx - 3x - 3 = mx(x + 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(mx - 3).\]
Корни: \(x = -1\) и \(x = \dfrac{3}{m}\).
Корень \(-1\) целый при любом \(m\). Корень \(\dfrac{3}{m}\) целый, если \(m\) — делитель числа 3: \(m = \pm 1\) или \(m = \pm 3\).
- при \(m = 1\) корень \(x = 3\);
- при \(m = -1\) корень \(x = -3\);
- при \(m = 3\) корень \(x = 1\);
- при \(m = -3\) корень \(x = -1\) (совпадает с первым корнем, трёхчлен равен \(-3(x + 1)^2\)).
Ответ
x = −1 при любом целом m ≠ 0; ещё x = 3 при m = 1, x = −3 при m = −1, x = 1 при m = 3 (при m = −3 единственный корень −1)
Почему так
Трёхчлен раскладывается как (x + 1)(mx − 3), корень 3/m целый, только если m делит 3.
Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».