Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 797

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выполнить действие: (x + 4)/(x − 1) − (37x − 12)/(4x² − 3x − 1).

Решение

Корни уравнения $$4x^2 - 3x - 1 = 0$$ — числа $$1$$ и $-\dfrac{1}{4}$ , поэтому $$4x^2 - 3x - 1 = (x - 1)(4x + 1)$$ .

\frac{x + 4}{x - 1} - \frac{37x - 12}{(x - 1)(4x + 1)} = \frac{(x + 4)(4x + 1) - 37x + 12}{(x - 1)(4x + 1)} = \frac{4x^2 - 20x + 16}{(x - 1)(4x + 1)}.

\(4x^2 - 20x + 16 = 4(x^2 - 5x + 4) = 4(x - 1)(x - 4)\)

, поэтому

\frac{4(x - 1)(x - 4)}{(x - 1)(4x + 1)} = \frac{4(x - 4)}{4x + 1}.

Ответ

4(x − 4)/(4x + 1)

Почему так

Знаменатель второй дроби раскладываем на множители — он и есть общий знаменатель.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Выполнить действие: (x − 1)/(x + 2) − (1 − x)/(x² + 3x + 2).

Решение

$$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$$ , а $$-(1 - x) = x - 1$$ :

\frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x - 1}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{(x - 1)(x + 1) + (x - 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{x - 1}{x + 1}.

Ответ

(x − 1)/(x + 1)

Почему так

Раскладываем x² + 3x + 2 на множители и выносим общий множитель x − 1 в числителе.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Выполнить действие: (7x − x²)/(x + 4) · (x² − x − 20)/(7 − x).

Решение

$$7x - x^2 = x(7 - x)$$ ; корни $$x^2 - x - 20 = 0$$ — числа 5 и $$-4$$ , поэтому $$x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4)$$ .

\frac{x(7 - x)}{x + 4} \cdot \frac{(x - 5)(x + 4)}{7 - x} = x(x - 5) = x^2 - 5x.

Ответ

x(x − 5), то есть x² − 5x

Почему так

Раскладываем числители на множители и сокращаем на 7 − x и x + 4.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Выполнить действие: (x² + 11x + 30)/(3x − 15) : (x + 5)/(x − 5).

Решение

Корни $$x^2 + 11x + 30 = 0$$ — числа $$-5$$ и $$-6$$ , поэтому $$x^2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)$$ ; $$3x - 15 = 3(x - 5)$$ .

\frac{(x + 5)(x + 6)}{3(x - 5)} \cdot \frac{x - 5}{x + 5} = \frac{x + 6}{3}.

Ответ

(x + 6)/3

Почему так

Деление заменяем умножением на обратную дробь и сокращаем на x + 5 и x − 5.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Выполнить действие: (2x² − 7)/(x² − 3x − 4) − (x + 1)/(x − 4).

Решение

Корни $$x^2 - 3x - 4 = 0$$ — числа 4 и $$-1$$ , поэтому $$x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)$$ .

\frac{2x^2 - 7}{(x - 4)(x + 1)} - \frac{x + 1}{x - 4} = \frac{2x^2 - 7 - (x + 1)^2}{(x - 4)(x + 1)} = \frac{x^2 - 2x - 8}{(x - 4)(x + 1)}.

\(x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)\)

, поэтому результат

\dfrac{x + 2}{x + 1}

Ответ

(x + 2)/(x + 1)

Почему так

Общий знаменатель — разложение x² − 3x − 4; числитель результата тоже раскладываем и сокращаем.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Выполнить действие: (2 + x − x²)/(2 − 5x + 3x²) + 10x/(3x − 2).

Решение

$$2 + x - x^2 = -(x^2 - x - 2) = -(x - 2)(x + 1)$$ ; корни $$3x^2 - 5x + 2 = 0$$ — числа 1 и $\dfrac{2}{3}$ , поэтому $$3x^2 - 5x + 2 = (x - 1)(3x - 2)$$ .

\frac{-(x - 2)(x + 1)}{(x - 1)(3x - 2)} + \frac{10x}{3x - 2} = \frac{-x^2 + x + 2 + 10x^2 - 10x}{(x - 1)(3x - 2)} = \frac{9x^2 - 9x + 2}{(x - 1)(3x - 2)}.

Корни

\(9x^2 - 9x + 2 = 0\)

— числа

\dfrac{2}{3}

\dfrac{1}{3}

, поэтому

\(9x^2 - 9x + 2 = (3x - 2)(3x - 1)\)

\frac{(3x - 2)(3x - 1)}{(x - 1)(3x - 2)} = \frac{3x - 1}{x - 1}.

Ответ

(3x − 1)/(x − 1)

Почему так

Знаменатели раскладываем на множители, приводим к общему знаменателю и сокращаем на 3x − 2.

Подробнее — в теме «Разложение квадратного трёхчлена на множители».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-797/