Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 798

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение (x + 1)/6 + 20/(x − 1) = 4.

Решение

ОДЗ: $x \ne 1$ . Умножим обе части на $$6(x - 1)$$ :

\[(x + 1)(x - 1) + 120 = 24(x - 1),\]

x^2 - 1 + 120 - 24x + 24 = 0, \qquad x^2 - 24x + 143 = 0.

\(D = 576 - 572 = 4\)

;

x_1 = \dfrac{24 - 2}{2} = 11

x_2 = \dfrac{24 + 2}{2} = 13

Оба корня не равны 1.

Ответ

11; 13

Почему так

Умножаем на общий знаменатель и проверяем, что корни не обращают его в нуль.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение (x + 15)/4 − 21/(x + 2) = 2.

Решение

ОДЗ: $x \ne -2$ . Умножим обе части на $$4(x + 2)$$ :

\[(x + 15)(x + 2) - 84 = 8(x + 2),\]

x^2 + 17x + 30 - 84 - 8x - 16 = 0, \qquad x^2 + 9x - 70 = 0.

\(D = 81 + 280 = 361 = 19^2\)

;

x_1 = \dfrac{-9 - 19}{2} = -14

x_2 = \dfrac{-9 + 19}{2} = 5

Оба корня не равны $$-2$$ .

Ответ

−14; 5

Почему так

Умножаем на общий знаменатель 4(x + 2) и отбрасываем корни, обращающие его в нуль (их нет).

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение 12/(x − 1) − 8/(x + 1) = 1.

Решение

ОДЗ: $x \ne \pm 1$ . Умножим обе части на $$(x - 1)(x + 1)$$ :

\[12(x + 1) - 8(x - 1) = x^2 - 1,\]

4x + 20 = x^2 - 1, \qquad x^2 - 4x - 21 = 0.

\(D = 16 + 84 = 100\)

;

x_1 = \dfrac{4 - 10}{2} = -3

x_2 = \dfrac{4 + 10}{2} = 7

Оба корня не равны $\pm 1$ .

Ответ

−3; 7

Почему так

Общий знаменатель (x − 1)(x + 1); корни не обращают его в нуль.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 16/(x − 3) + 30/(1 − x) = 3.

Решение

ОДЗ: $x \ne 3$ , $x \ne 1$ . Умножим обе части на $$(x - 3)(1 - x)$$ :

\[16(1 - x) + 30(x - 3) = 3(x - 3)(1 - x),\]

14x - 74 = -3x^2 + 12x - 9, \qquad 3x^2 + 2x - 65 = 0.

\(D = 4 + 780 = 784 = 28^2\)

;

x_1 = \dfrac{-2 - 28}{6} = -5

x_2 = \dfrac{-2 + 28}{6} = \dfrac{13}{3} = 4\dfrac{1}{3}

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ

−5; 4 1/3

Почему так

Умножаем на общий знаменатель (x − 3)(1 − x) и проверяем корни по ОДЗ.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение 3/(1 − x) + 1/(1 + x) = 28/(1 − x²).

Решение

ОДЗ: $x \ne \pm 1$ . Так как $$1 - x^2 = (1 - x)(1 + x)$$ , умножим обе части на $$1 - x^2$$ :

\[3(1 + x) + (1 - x) = 28,\]

2x + 4 = 28, \qquad x = 12.

Число 12 входит в ОДЗ.

Ответ

Почему так

Общий знаменатель — 1 − x² = (1 − x)(1 + x); после умножения получается линейное уравнение.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение 5/(x − 2) − 3/(x + 2) = 20/(x² − 4).

Решение

ОДЗ: $x \ne \pm 2$ . Умножим обе части на $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ :

\[5(x + 2) - 3(x - 2) = 20,\]

2x + 16 = 20, \qquad x = 2.

Но

\(x = 2\)

обращает знаменатели

\(x - 2\)

\(x^2 - 4\)

в нуль — это посторонний корень.

Уравнение корней не имеет.

Ответ

Корней нет

Почему так

Единственный корень целого уравнения x = 2 обращает знаменатель в нуль и потому посторонний.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Решить уравнение (x + 2)/(x + 1) + (x + 3)/(x − 2) = 29/((x + 1)(x − 2)).

Решение

ОДЗ: $x \ne -1$ , $x \ne 2$ . Умножим обе части на $$(x + 1)(x - 2)$$ :

\[(x + 2)(x - 2) + (x + 3)(x + 1) = 29,\]

x^2 - 4 + x^2 + 4x + 3 = 29, \qquad 2x^2 + 4x - 30 = 0, \qquad x^2 + 2x - 15 = 0.

\(x_1 = -5\)

\(x_2 = 3\)

(по теореме Виета: сумма

\(-2\)

, произведение

\(-15\)

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ

−5; 3

Почему так

Умножаем на общий знаменатель (x + 1)(x − 2); оба корня его в нуль не обращают.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Решить уравнение (x + 2)/(x + 3) − (x + 1)/(x − 1) = 4/((x + 3)(x − 1)).

Решение

ОДЗ: $x \ne -3$ , $x \ne 1$ . Умножим обе части на $$(x + 3)(x - 1)$$ :

\[(x + 2)(x - 1) - (x + 1)(x + 3) = 4,\]

x^2 + x - 2 - x^2 - 4x - 3 = 4, \qquad -3x - 5 = 4, \qquad x = -3.

Но

\(x = -3\)

обращает знаменатель

\(x + 3\)

в нуль — посторонний корень.

Уравнение корней не имеет.

Ответ

Корней нет

Почему так

Получившийся корень x = −3 не входит в ОДЗ, поэтому уравнение корней не имеет.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-798/