Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Дробное рациональное уравнение — уравнение, в котором переменная стоит в знаменателе. Его умножают на общий знаменатель, решают получившееся целое уравнение, а потом выбрасывают корни, при которых общий знаменатель равен нулю.
Подробное объяснение
Представьте, что 600 рублей делят поровну между \(x\) друзьями. Каждому достанется \(\dfrac{600}{x}\) рублей. Если в задаче сказано, что каждому досталось 150 рублей, получаем уравнение \(\dfrac{600}{x} = 150\). Переменная оказалась в знаменателе — такие уравнения и называют дробными. И сразу видно ограничение: друзей не может быть ноль, ведь на ноль делить нельзя.
Целые и дробные уравнения
Если обе части уравнения — целые выражения (без деления на выражение с переменной), уравнение целое: \(\dfrac{x}{2} + 3 = x\) — целое, ведь делим на число. Если хотя бы в одной части есть деление на выражение с переменной, уравнение дробное: \(\dfrac{5}{x - 1} = x\).
Главная идея
С дробями неудобно, поэтому от них избавляются: умножают обе части на общий знаменатель всех дробей. Получается целое уравнение — линейное или квадратное, а их вы решать умеете.
Но тут есть подвох. Когда обе части умножают на число, не равное нулю, получается уравнение с теми же корнями. А общий знаменатель содержит переменную и при некоторых её значениях равен нулю. Поэтому у целого уравнения могут появиться «лишние» корни — числа, при которых в исходном уравнении знаменатель обращается в нуль. Их называют посторонними корнями. В ответ они не идут. Поэтому проверка в дробных уравнениях — не формальность, а обязательная часть решения, такая же важная, как само вычисление.
Например, в уравнении \(\dfrac{x^2}{x - 3} = \dfrac{9}{x - 3}\) после умножения на \(x - 3\) получаем \(x^2 = 9\), то есть \(x = 3\) или \(x = -3\). Но при \(x = 3\) дроби теряют смысл. Остаётся только \(-3\).
Как решать
- Разложите знаменатели на множители (вынесение за скобки, формулы сокращённого умножения). Выражения вида \(3 - x\) запишите как \(-(x - 3)\).
- Выпишите, каким не может быть \(x\): все значения, при которых какой-нибудь знаменатель равен нулю.
- Найдите наименьший общий знаменатель — произведение всех различных множителей в нужных степенях.
- Умножьте обе части на общий знаменатель. Каждая дробь сократится, останется целое уравнение.
- Раскройте скобки, приведите подобные и решите целое уравнение.
- Сравните найденные корни с запретами из шага 2. Корни, которые обращают знаменатель в нуль, вычеркните.
- Если вычеркнуть пришлось всё, ответ — «корней нет».
Частный случай: если уравнение имеет вид \(\dfrac{A}{B} = 0\), достаточно решить \(A = 0\) и проверить, что \(B \ne 0\). А пропорцию \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) удобно решать «крест-накрест»: \(AD = BC\), не забыв про \(B \ne 0\) и \(D \ne 0\).
Разобранные примеры
Одинаковые знаменатели
Решите уравнение \(\dfrac{x^2}{x - 4} = \dfrac{16}{x - 4}\).
Знаменатель не равен нулю: \(x \ne 4\).
Умножаем обе части на \(x - 4\) и получаем \(x^2 = 16\), откуда \(x = 4\) или \(x = -4\).
Число \(4\) запрещено — это посторонний корень. Проверяем \(-4\): знаменатель \(-4 - 4 = -8 \ne 0\), подходит.
Посторонний корень съедает весь ответ
Решите уравнение \(\dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{8}{x^2 - 4} = 1\).
\(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\), поэтому \(x \ne 2\) и \(x \ne -2\). Общий знаменатель \((x - 2)(x + 2)\).
Умножаем обе части на него и получаем \(x(x + 2) - 8 = (x - 2)(x + 2)\).
\(x^2 + 2x - 8 = x^2 - 4\), \(2x = 4\), \(x = 2\).
Но \(x = 2\) обращает знаменатель в нуль. Других корней целое уравнение не дало, значит, исходное уравнение корней не имеет.
Квадратное уравнение после умножения
Решите уравнение \(\dfrac{2}{x - 3} + \dfrac{x}{x + 3} = \dfrac{12}{x^2 - 9}\).
\(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\); запреты: \(x \ne 3\), \(x \ne -3\).
Умножаем на \((x - 3)(x + 3)\) и получаем
\(2(x + 3) + x(x - 3) = 12\),
\(2x + 6 + x^2 - 3x - 12 = 0\),
\(x^2 - x - 6 = 0\), \(x_1 = 3\), \(x_2 = -2\).
\(x = 3\) запрещён — посторонний корень. \(x = -2\) подходит: знаменатели равны \(-5\), \(1\) и \(-5\).
Типичные ошибки
Целое уравнение получено умножением на выражение с переменной, поэтому у него могут быть корни, при которых исходные дроби не имеют смысла. Если записать их в ответ, решение будет неверным: подставить такое число в исходное уравнение нельзя.
До умножения выпишите запреты (\(x \ne \ldots\)), а после решения целого уравнения сверьте с ними каждый корень. Это обязательный последний шаг.
В уравнении \(\dfrac{3}{x} + 2 = \dfrac{5}{x}\) часто пишут \(3 + 2 = 5\), забыв умножить на \(x\) «целое» слагаемое \(2\). Получается неверное равенство вместо уравнения или неверный корень.
На общий знаменатель умножается каждое слагаемое обеих частей, включая числа без дроби: \(3 + 2x = 5\), \(x = 1\).
\(\dfrac{5}{3 - x}\) и \(\dfrac{5}{x - 3}\) — противоположные числа, а не одно и то же. Если просто переставить слагаемые в знаменателе, знак ответа «поедет».
Пишите явно: \(\dfrac{5}{3 - x} = -\dfrac{5}{x - 3}\), и только потом ищите общий знаменатель.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какое из уравнений дробное рациональное?
Показать ответ
Ответ: Б) \(\dfrac{5}{x} + x = 6\)
Дробное уравнение содержит деление на выражение с переменной. Только в \(\dfrac{5}{x} + x = 6\) переменная стоит в знаменателе; деление на число 3, 5 или 7 уравнение дробным не делает.
-
Какие числа заведомо не могут быть корнями уравнения \(\dfrac{4}{x - 3} + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{x}{x^2 - 9}\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) 3; Б) −2; В) −3
Знаменатели \(x - 3\), \(x + 2\) и \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\) обращаются в нуль при \(x = 3\), \(x = -2\) и \(x = -3\). Число 0 допустимо.
-
Найдите корень уравнения \(\dfrac{6}{x - 1} = 3\).
Показать ответ
Ответ: 3
\(x - 1 = 2\), \(x = 3\); знаменатель при этом равен \(2 \ne 0\).
-
Решая уравнение \(\dfrac{x^2}{x - 1} = \dfrac{1}{x - 1}\), ученик получил \(x^2 = 1\). Каков ответ?
Показать ответ
Ответ: Б) Только −1
Из \(x^2 = 1\) получаем \(\pm 1\), но при \(x = 1\) знаменатель \(x - 1\) равен нулю. Это посторонний корень, остаётся \(-1\).
-
Какой общий знаменатель удобно взять для дробей \(\dfrac{1}{x^2 - 4}\), \(\dfrac{3}{x + 2}\) и \(\dfrac{5}{x}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) \(x(x - 2)(x + 2)\)
\(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\), поэтому наименьший общий знаменатель — \(x(x - 2)(x + 2)\). Лишние множители только усложнят целое уравнение.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Решите уравнение \(\dfrac{15}{x - 2} = 3\).
Подсказка
Умножьте обе части на \(x - 2\) и не забудьте, что \(x \ne 2\).
Решение
Условие: \(x \ne 2\). Умножаем на \(x - 2\) и получаем \(15 = 3(x - 2)\), \(x - 2 = 5\), \(x = 7\). Знаменатель при \(x = 7\) равен \(5 \ne 0\).
Ответ
Решите уравнение \(\dfrac{12}{x} = x + 1\).
Подсказка
После умножения на \(x\) получится квадратное уравнение.
Решение
Условие: \(x \ne 0\). \(12 = x^2 + x\), \(x^2 + x - 12 = 0\). По теореме Виета \(x_1 = 3\), \(x_2 = -4\). Оба не равны нулю.
Ответ
Решите уравнение \(\dfrac{x^2}{x + 5} = \dfrac{25}{x + 5}\).
Подсказка
Знаменатели одинаковые — приравняйте числители, но проверьте корни.
Решение
Условие: \(x \ne -5\). \(x^2 = 25\), \(x = 5\) или \(x = -5\). При \(x = -5\) знаменатель равен нулю — это посторонний корень. Остаётся \(x = 5\).
Ответ
Решите уравнение \(\dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{2}{x + 1} = 1\).
Подсказка
Общий знаменатель \((x - 1)(x + 1) = x^2 - 1\).
Решение
Условия: \(x \ne \pm 1\). Умножаем на \((x - 1)(x + 1)\) и получаем \(3(x + 1) - 2(x - 1) = x^2 - 1\), \(x + 5 = x^2 - 1\), \(x^2 - x - 6 = 0\), \(x_1 = 3\), \(x_2 = -2\). Оба не равны \(\pm 1\).
Ответ
Решите уравнение \(\dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{4}{x^2 - 4}\).
Подсказка
Разложите \(x^2 - 4\) на множители и внимательно проверьте найденный корень.
Решение
Условия: \(x \ne \pm 2\). Умножаем на \((x - 2)(x + 2)\) и получаем \((x + 2) + (x - 2) = 4\), \(2x = 4\), \(x = 2\). Но \(x = 2\) обращает знаменатели в нуль — корень посторонний. Значит, уравнение корней не имеет.
Ответ
Сумма числа и обратного ему числа равна \(2{,}5\). Найдите это число.
Подсказка
Обратное к \(x\) число равно \(\dfrac{1}{x}\). Составьте уравнение и умножьте на \(2x\).
Решение
Пусть искомое число \(x\), \(x \ne 0\). Тогда \(x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2}\). Умножаем на \(2x\) и получаем \(2x^2 + 2 = 5x\), \(2x^2 - 5x + 2 = 0\), \(D = 25 - 16 = 9\), \(x = \dfrac{5 \pm 3}{4}\), то есть \(x_1 = 2\), \(x_2 = 0{,}5\). Оба подходят, ведь \(2 + 0{,}5 = 2{,}5\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите уравнение \(\dfrac{x^2}{x - 1} = \dfrac{1}{x - 1}\). Попросите ребёнка «убрать дроби» — он получит \(x^2 = 1\) и, скорее всего, ответит «\(1\) и \(-1\)». Теперь предложите подставить \(x = 1\) в исходное уравнение: в знаменателе выйдет ноль. Так ребёнок сам увидит, зачем нужна проверка, и запомнит: «умножил на знаменатель — проверь, не ноль ли он».
Вопросы для проверки понимания: 1) Чем дробное уравнение отличается от целого? 2) Почему после умножения на общий знаменатель могут появиться лишние корни? 3) Может ли дробное уравнение не иметь корней, хотя целое уравнение их имеет?
На что обратить внимание. Чаще всего баллы теряются не на вычислениях, а на последнем шаге — забытой проверке знаменателя. Пусть ребёнок в каждом решении первой строкой выписывает запреты на \(x\). Если трудно найти общий знаменатель — повторите разложение на множители и формулы сокращённого умножения.