Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 800

Задача 1

Условие (кратко)

а) При каком x значение функции y = (5x − 7)/(x² + 1) равно −6; 0; 0,8; 0,56?

Решение

Знаменатель $$x^2 + 1 > 0$$ при любом $$x$$ , поэтому уравнение $\dfrac{5x - 7}{x^2 + 1} = c$ равносильно $$5x - 7 = c(x^2 + 1)$$ .

$$y = -6$$ : $$5x - 7 = -6x^2 - 6$$ , то есть $$6x^2 + 5x - 1 = 0$$ . $$D = 25 + 24 = 49$$ , $x = \dfrac{-5 \pm 7}{12}$ , $$x_1 = -1$$ , $x_2 = \dfrac{1}{6}$ .

$$y = 0$$ : $$5x - 7 = 0$$ , $$x = 1{,}4$$ .

$$y = 0{,}8$$ : $5x - 7 = 0{,}8x^2 + 0{,}8$ , то есть $0{,}8x^2 - 5x + 7{,}8 = 0$ . Умножим на 5: $$4x^2 - 25x + 39 = 0$$ . $$D = 625 - 624 = 1$$ , $x = \dfrac{25 \pm 1}{8}$ , $$x_1 = 3$$ , $x_2 = \dfrac{13}{4} = 3{,}25$ .

$$y = 0{,}56$$ : $0{,}56x^2 - 5x + 7{,}56 = 0$ . Умножим на 25: $$14x^2 - 125x + 189 = 0$$ . $D = 15\,625 - 10\,584 = 5041 = 71^2$ , $x = \dfrac{125 \pm 71}{28}$ , $$x_1 = 7$$ , $x_2 = \dfrac{54}{28} = \dfrac{27}{14}$ .

Ответ

y = −6 при x = −1 и x = 1/6; y = 0 при x = 1,4; y = 0,8 при x = 3 и x = 3,25; y = 0,56 при x = 27/14 и x = 7

Почему так

Приравниваем дробь к числу; знаменатель x² + 1 никогда не равен нулю, поэтому посторонних корней нет.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) При каком x значение функции y = (x² − 2x + 6)/(x + 4) равно 1,5; 3; 7?

Решение

Функция определена при $x \ne -4$ . При этом условии $\dfrac{x^2 - 2x + 6}{x + 4} = c$ равносильно $$x^2 - 2x + 6 = c(x + 4)$$ .

$$y = 1{,}5$$ : $x^2 - 2x + 6 = 1{,}5x + 6$ , $x^2 - 3{,}5x = 0$ , $$x(x - 3{,}5) = 0$$ , $$x_1 = 0$$ , $x_2 = 3{,}5$ .

$$y = 3$$ : $$x^2 - 2x + 6 = 3x + 12$$ , $$x^2 - 5x - 6 = 0$$ , $$x_1 = -1$$ , $$x_2 = 6$$ .

$$y = 7$$ : $$x^2 - 2x + 6 = 7x + 28$$ , $$x^2 - 9x - 22 = 0$$ , $$x_1 = -2$$ , $$x_2 = 11$$ .

Ни одно из чисел не равно $$-4$$ , все корни подходят.

Ответ

y = 1,5 при x = 0 и x = 3,5; y = 3 при x = −1 и x = 6; y = 7 при x = −2 и x = 11

Почему так

Дробь равна числу c, когда числитель равен c, умноженному на знаменатель, а знаменатель не равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-800/