Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 802

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить графически уравнение 6/|x| = 1,5x − 2.

Решение

Построим в одной системе координат графики $y = \dfrac{6}{|x|}$ и $$y = 1{,}5x - 2$$ .

График $y = \dfrac{6}{|x|}$ симметричен относительно оси $$y$$ : при $$x > 0$$ это ветвь гиперболы $y = \dfrac{6}{x}$ , при $$x < 0$$ — её зеркальное отражение. Вся кривая лежит выше оси $$x$$ .

$$x$$	$\pm 1$	$\pm 2$	$\pm 3$	$\pm 6$
$\dfrac{6}{\lvert x\rvert}$	6	3	2	1

Прямая $$y = 1{,}5x - 2$$ проходит через точки $$(0; -2)$$ и $$(2; 1)$$ , $$(4; 4)$$ . При $$x < 0$$ она ниже оси $$x$$ , поэтому с левой ветвью не пересекается. С правой ветвью — одна точка: при $$x = 2$$ кривая выше прямой ( $$3 > 1$$ ), при $$x = 3$$ — ниже ( $$2 < 2{,}5$$ ). По графику $x \approx 2{,}8$ .

Проверка вычислением: при $$x > 0$$ получаем $6 = 1{,}5x^2 - 2x$ , $$3x^2 - 4x - 12 = 0$$ , $x = \dfrac{2 + 2\sqrt{10}}{3} \approx 2{,}77$ .

Ответ

x ≈ 2,8 (точно x = (2 + 2√10)/3)

Почему так

Корень уравнения — абсцисса точки пересечения графиков левой и правой частей.

Подробнее — в теме «Графический способ решения систем уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить графически уравнение 8/|x| = x².

Решение

Построим графики $y = \dfrac{8}{|x|}$ (две ветви гиперболы, симметричные относительно оси $$y$$ ) и параболу $$y = x^2$$ .

$$x$$	$\pm 1$	$\pm 2$	$\pm 4$
$\dfrac{8}{\lvert x\rvert}$	8	4	2
$$x^2$$	1	4	16

Оба графика симметричны относительно оси $$y$$ и пересекаются в двух точках $$(-2; 4)$$ и $$(2; 4)$$ .

Проверка: $$|x|^3 = 8$$ , $$|x| = 2$$ .

Ответ

x = −2; x = 2

Почему так

Корни — абсциссы точек пересечения гиперболы y = 8/|x| и параболы y = x².

Подробнее — в теме «Графический способ решения систем уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить графически уравнение 3/|x| = x + 1.

Решение

Построим графики $y = \dfrac{3}{|x|}$ и $$y = x + 1$$ .

$$x$$	$\pm 1$	$\pm 1{,}5$	$\pm 3$
$\dfrac{3}{\lvert x\rvert}$	3	2	1

Прямая $$y = x + 1$$ проходит через $$(-1; 0)$$ и $$(0; 1)$$ . При $$x < 0$$ пересечения нет: при $x \le -1$ прямая не выше оси $$x$$ , а при $$-1 < x < 0$$ её ординаты меньше 1, тогда как $\dfrac{3}{|x|} > 3$ .

При $$x > 0$$ одна точка пересечения: при $$x = 1$$ кривая выше ( $$3 > 2$$ ), при $$x = 1{,}5$$ ниже ( $$2 < 2{,}5$$ ). По графику $x \approx 1{,}3$ .

Проверка: при $$x > 0$$ получаем $$x^2 + x - 3 = 0$$ , $x = \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2} \approx 1{,}30$ .

Ответ

x ≈ 1,3 (точно x = (√13 − 1)/2)

Почему так

Корень — абсцисса единственной точки пересечения правой ветви гиперболы с прямой.

Подробнее — в теме «Графический способ решения систем уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить графически уравнение x² = 5/|x|.

Решение

Построим параболу $$y = x^2$$ и график $y = \dfrac{5}{|x|}$ .

$$x$$	$\pm 1$	$\pm 1{,}5$	$\pm 2$
$$x^2$$	1	2,25	4
$\dfrac{5}{\lvert x\rvert}$	5	3,3	2,5

Оба графика симметричны относительно оси $$y$$ . При $$x = 1{,}5$$ гипербола выше параболы, при $$x = 2$$ — ниже, поэтому точки пересечения при $x \approx 1{,}7$ и $x \approx -1{,}7$ .

Проверка: $$|x|^3 = 5$$ , $|x| = \sqrt[3]{5} \approx 1{,}71$ .

Ответ

x ≈ −1,7; x ≈ 1,7 (точно x = ±∛5)

Почему так

Графики симметричны относительно оси y, поэтому корни противоположны.

Подробнее — в теме «Графический способ решения систем уравнений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-802/