Что значит решить систему двух уравнений графически?

Найти координаты всех общих точек графиков уравнений

Построить график одного из уравнений

Найти точки пересечения графиков с осью x

Найти вершину параболы

Почему ответ, найденный графическим способом, обычно приближённый?

Графики строят по нескольким точкам и координаты считывают с рисунка

Потому что система всегда имеет бесконечно много решений

Потому что графики уравнений никогда не пересекаются

Графический способ всегда даёт точный ответ

Графический способ решения систем уравнений

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Уравнение с двумя переменными и его график

Коротко о главном

Чтобы решить систему двух уравнений графически, строят графики обоих уравнений в одной системе координат и находят их общие точки. Координаты каждой общей точки — решение системы; сколько точек пересечения, столько и решений. Найденные по рисунку значения обычно приближённые, поэтому их проверяют подстановкой.

Подробное объяснение

Представьте карту, на которой нарисованы две дороги. Где можно встретиться, если один человек идёт только по первой дороге, а другой — только по второй? Только на перекрёстке: это единственное место, которое лежит на обеих дорогах сразу. Если дороги пересекаются дважды, мест встречи два, а если идут параллельно — ни одного.

С системой уравнений то же самое. График уравнения с двумя переменными — это все точки, координаты которых обращают уравнение в верное равенство. Точка первого графика подходит к первому уравнению, точка второго — ко второму. А решение системы должно подходить к обоим. Значит, решения системы — это общие точки графиков, «перекрёстки».

Сколько решений

Графики могут пересекаться в одной точке, в нескольких или не пересекаться вовсе. Поэтому система может иметь одно решение, два, три и больше — или не иметь решений. Например, у параболы $$y = x^2$$ и прямой $$y = x + 2$$ две общие точки, у параболы $$y = x^2$$ и прямой $$y = -1$$ — ни одной. Часто, чтобы ответить на вопрос «сколько решений», достаточно схематического рисунка: нужно лишь понять, где расположены графики.

Парабола y = x² и прямая y = x + 2 в одной системе координат. Они пересекаются в двух точках: A(−1; 1) и B(2; 4); от точек к осям проведены пунктиры к их координатам. — Каждая общая точка графиков даёт решение системы: здесь их две, (−1; 1) и (2; 4). Точно ли это решения — проверяют подстановкой.

Почему ответ приближённый

Графики строят по нескольким точкам, а координаты пересечения считывают с рисунка «на глаз». Если пересечение попало точно в узел клетчатой сетки, ответ может оказаться точным. Но чаще точка лежит между линиями сетки, и мы получаем, например, $x \approx 1{,}3$ вместо точного $x = \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{2}$ . Поэтому графическим способом удобно узнать, сколько у системы решений и где они примерно расположены, а точные значения находят алгебраически (этому посвящён следующий пункт).

Как отличить точный ответ от приближённого

Подставьте найденную пару в каждое уравнение системы. Если оба равенства верны — пара точное решение. Если хотя бы одно не выполняется (пусть даже «почти»), это приближённое решение, и в ответе его пишут со знаком $\approx$ .

Графики, которые пригодятся

$$y = kx + b$$ и $$ax + by = c$$ — прямая; её строят по двум точкам.
$$y = ax^2$$ и $$y = x^2 + c$$ — парабола.
$y = \dfrac{k}{x}$ и $$xy = k$$ — гипербола: при $$k > 0$$ ветви в I и III четвертях, при $$k < 0$$ — во II и IV.
$$x = a$$ — вертикальная прямая, $$y = b$$ — горизонтальная.

Как решать

Запишите каждое уравнение так, чтобы было видно, какой у него график: обычно выражают $$y$$ через $$x$$ (например, $$xy = 6$$ → $y = \dfrac{6}{x}$ ).
Определите вид каждого графика: прямая, парабола, гипербола.
Постройте оба графика в одной системе координат, по таблице нескольких точек, аккуратно и в одном масштабе.
Найдите все точки пересечения и запишите их координаты. Нет общих точек — нет решений.
Проверьте каждую пару подстановкой в оба уравнения. Если равенства верны — решение точное; если нет — укажите, что решение приближённое.
Запишите ответ парами чисел: $(x;\ y)$ .

Разобранные примеры

База

Парабола и прямая

Условие

Решите графически систему $\begin{cases} y = x^2, \\ y - x = 2. \end{cases}$

Решение

Из второго уравнения $$y = x + 2$$ — прямая. Составим таблицы:

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$
$$y = x^2$$	$$4$$	$$1$$	$$0$$	$$1$$	$$4$$
$$y = x + 2$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$	$$4$$

Уже по таблице видно совпадения при $$x = -1$$ и $$x = 2$$ . На рисунке парабола и прямая пересекаются в точках $(-1;\ 1)$ и $(2;\ 4)$ .

Проверка: $$(-1)^2 = 1$$ , $$1 - (-1) = 2$$ ; $$2^2 = 4$$ , $$4 - 2 = 2$$ . Оба решения точные.

Ответ: (−1; 1), (2; 4)

Средний

Сколько решений у системы

Условие

Выясните по схематическому рисунку, сколько решений имеет система $\begin{cases} y = -x^2 + 4, \\ xy = 2. \end{cases}$

Решение

Первый график — парабола с вершиной $(0;\ 4)$ , ветви вниз, пересекает ось $$x$$ в точках $(-2;\ 0)$ и $(2;\ 0)$ . Второй: $y = \dfrac{2}{x}$ — гипербола в I и III четвертях.

I четверть. При $$x = 0{,}5$$ парабола ниже гиперболы ( $$3{,}75 < 4$$ ), при $$x = 1$$ — выше ( $$3 > 2$$ ), при $$x = 2$$ снова ниже ( $$0 < 1$$ ). Значит, здесь две точки пересечения.

III четверть. При $$x = -2$$ парабола выше гиперболы ( $$0 > -1$$ ), при $$x = -3$$ — ниже ( $-5 < -\dfrac{2}{3}$ ). Здесь одна точка пересечения.

Всего три общие точки.

Ответ: Три решения

Сложный

Когда ответ только приближённый

Условие

Решите графически систему $\begin{cases} y = x^2, \\ x + y = 3 \end{cases}$ и проверьте, точны ли найденные значения.

Решение

Прямая $$y = 3 - x$$ проходит через $(0;\ 3)$ и $(3;\ 0)$ . По рисунку она пересекает параболу примерно в точках $(1{,}3;\ 1{,}7)$ и $(-2{,}3;\ 5{,}3)$ .

Проверка первой пары: $1{,}3^2 = 1{,}69$ , а $$y = 1{,}7$$ — равенство $$y = x^2$$ не выполняется точно. Так же и вторая: $(-2{,}3)^2 = 5{,}29 \ne 5{,}3$ . Значит, решения приближённые (точные значения $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$ получаются алгебраически).

Ответ: x₁ ≈ 1,3, y₁ ≈ 1,7; x₂ ≈ −2,3, y₂ ≈ 5,3

Типичные ошибки

Проверяют пару только в одном уравнении

Почему неверно

Пара может лежать на одном графике и не лежать на другом. Например, $(1;\ 1)$ подходит к $$y = x^2$$ , но не к $$y = x + 2$$ — это не решение системы.

Как правильно

Подставляйте пару в каждое уравнение системы. Решение — только та пара, которая обращает в верное равенство все уравнения.

Выдают значения с рисунка за точные

Почему неверно

Координаты, считанные с графика, почти всегда округлены: $(1{,}3;\ 1{,}7)$ «на глаз» неотличимо от точной точки, но подстановка показывает $1{,}3^2 = 1{,}69 \ne 1{,}7$ .

Как правильно

После построения сделайте проверку подстановкой. Если равенство не выполняется точно, пишите ответ со знаком $\approx$ и называйте решения приближёнными.

Записывают в ответ только абсциссы

Почему неверно

Решение системы с двумя переменными — пара чисел. Ответ « $$x = -1$$ , $$x = 2$$ » неполный: неясно, чему равен $$y$$ .

Как правильно

Записывайте каждую точку пересечения целиком: $(-1;\ 1)$ и $(2;\ 4)$ , или $$x_1 = -1$$ , $$y_1 = 1$$ ; $$x_2 = 2$$ , $$y_2 = 4$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Является ли пара чисел $(3;\ 2)$ решением системы $\begin{cases} x^2 - y^2 = 5, \\ x + y = 5? \end{cases}$

Подсказка

Подставьте $$x = 3$$ , $$y = 2$$ в каждое уравнение.

Решение

Первое уравнение: $$3^2 - 2^2 = 9 - 4 = 5$$ — верно.

Второе уравнение: $$3 + 2 = 5$$ — верно.

Пара обращает в верное равенство оба уравнения, значит, она — решение системы.

Ответ

Да, является

База Задача 2

Решите графически систему $\begin{cases} y = x^2, \\ y = 4. \end{cases}$

Подсказка

График второго уравнения — горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0;\ 4)$ .

Решение

График $$y = x^2$$ — парабола с вершиной в начале координат, график $$y = 4$$ — прямая, параллельная оси $$x$$ .

Они пересекаются в двух точках: $(-2;\ 4)$ и $(2;\ 4)$ .

Проверка: $$(-2)^2 = 4$$ и $$2^2 = 4$$ — обе пары подходят к обоим уравнениям.

Ответ

(−2; 4), (2; 4)

Средний Задача 3

Решите графически систему $\begin{cases} y = x^2, \\ x + y = 6. \end{cases}$

Подсказка

Выразите $$y$$ из второго уравнения и постройте прямую $$y = -x + 6$$ по двум точкам.

Решение

Из второго уравнения $$y = -x + 6$$ — прямая через точки $(0;\ 6)$ и $(6;\ 0)$ . Первое уравнение задаёт параболу $$y = x^2$$ .

По рисунку графики пересекаются в точках $(2;\ 4)$ и $(-3;\ 9)$ .

Проверка подстановкой: $$2^2 = 4$$ , $$2 + 4 = 6$$ ; $$(-3)^2 = 9$$ , $$-3 + 9 = 6$$ — обе пары точные решения.

Ответ

(2; 4), (−3; 9)

Средний Задача 4

Решите графически систему $\begin{cases} xy = 6, \\ y = x + 1. \end{cases}$

Подсказка

Первое уравнение запишите как $y = \dfrac{6}{x}$ — это гипербола в I и III четвертях.

Решение

$y = \dfrac{6}{x}$ — гипербола через точки $(1;\ 6)$ , $(2;\ 3)$ , $(3;\ 2)$ , $(6;\ 1)$ и симметричные им $(-1;\ -6)$ , $(-2;\ -3)$ , $(-3;\ -2)$ , $(-6;\ -1)$ . Прямая $$y = x + 1$$ проходит через $(0;\ 1)$ и $(-1;\ 0)$ .

Графики пересекаются в точках $(2;\ 3)$ и $(-3;\ -2)$ .

Проверка: $2 \cdot 3 = 6$ , $$3 = 2 + 1$$ ; $(-3) \cdot (-2) = 6$ , $$-2 = -3 + 1$$ .

Ответ

(2; 3), (−3; −2)

Сложный Задача 5

Сколько решений имеет система $\begin{cases} y = x^2, \\ y = 2x - 1? \end{cases}$ Найдите их.

Подсказка

Посмотрите, как прямая проходит около вершины параболы, и проверьте точку $(1;\ 1)$ .

Решение

Прямая $$y = 2x - 1$$ проходит через $(0;\ -1)$ и $(1;\ 1)$ . Точка $(1;\ 1)$ лежит и на параболе: $$1^2 = 1$$ .

Других общих точек нет: разность $$x^2 - (2x - 1) = (x - 1)^2$$ равна нулю только при $$x = 1$$ , а при остальных $$x$$ положительна — парабола всюду выше прямой. Прямая касается параболы.

Система имеет одно решение $(1;\ 1)$ .

Ответ

Одно решение: (1; 1)

Сложный Задача 6

Решая графически систему $\begin{cases} xy = 3, \\ y = x - 1, \end{cases}$ ученик нашёл точку $(2{,}3;\ 1{,}3)$ . Является ли эта пара точным решением системы?

Подсказка

Подставьте пару в первое уравнение.

Решение

Второе уравнение: $$2{,}3 - 1 = 1{,}3$$ — верно.

Первое уравнение: $2{,}3 \cdot 1{,}3 = 2{,}99 \ne 3$ .

Пара не обращает первое уравнение в верное равенство, значит, это не точное, а приближённое решение. Точное значение $x = \dfrac{1 + \sqrt{13}}{2} \approx 2{,}30$ по графику найти нельзя — его дают алгебраические способы.

Ответ

Нет: 2,3 · 1,3 = 2,99 ≠ 3, это приближённое решение

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку и нарисуйте две «дороги» — например, параболу $$y = x^2$$ и прямую $$y = x + 2$$ . Спросите, где могут встретиться два пешехода, если каждый идёт только по своей дороге. Ответ — в точках пересечения. Затем попросите ребёнка подставить координаты этих точек в оба уравнения и убедиться, что равенства верны.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему координаты точки пересечения графиков — решение системы? 2) Сколько решений может иметь система, если графики — парабола и прямая? 3) Как узнать, что найденный по рисунку ответ точный?

На что обратить внимание. Графики должны быть построены в одной системе координат и в одном масштабе, иначе точки пересечения «съедут». Ответ — пары чисел, а не отдельные значения $$x$$ . И главное: графический способ хорош для оценки числа решений, но его ответ почти всегда приближённый — без проверки подстановкой его нельзя считать точным.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 30	696, 697, 698, 699, 700, 701

$\(x\)$	$\(-2\)$	$\(-1\)$	$\(0\)$	$\(1\)$	$\(2\)$
$\(y = x^2\)$	$\(4\)$	$\(1\)$	$\(0\)$	$\(1\)$	$\(4\)$
$\(y = x + 2\)$	$\(0\)$	$\(1\)$	$\(2\)$	$\(3\)$	$\(4\)$