Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 803

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти корни уравнения (x√3 + √2)/(x√3 − √2) + (x√3 − √2)/(x√3 + √2) = 10x/(3x² − 2).

Решение

Общий знаменатель $(x\sqrt{3} - \sqrt{2})(x\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 3x^2 - 2$ ; условие: $3x^2 \ne 2$ .

Умножим обе части на $$3x^2 - 2$$ , получим:

(x\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 + (x\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = 10x.

3x^2 + 2\sqrt{6}x + 2 + 3x^2 - 2\sqrt{6}x + 2 = 10x, \quad 6x^2 - 10x + 4 = 0, \quad 3x^2 - 5x + 2 = 0.

\(D = 25 - 24 = 1\)

x = \dfrac{5 \pm 1}{6}

\(x_1 = 1\)

x_2 = \dfrac{2}{3}

Проверка знаменателя: $3 \cdot 1 = 3 \ne 2$ , $3 \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{4}{3} \ne 2$ . Оба корня подходят.

Ответ

2/3; 1

Почему так

Знаменатели — сопряжённые выражения, их произведение 3x² − 2 и есть общий знаменатель.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти корни уравнения (1 − y√5)/(1 + y√5) + (1 + y√5)/(1 − y√5) = 9y/(1 − 5y²).

Решение

Общий знаменатель $(1 + y\sqrt{5})(1 - y\sqrt{5}) = 1 - 5y^2$ ; условие: $5y^2 \ne 1$ .

Умножим обе части на $$1 - 5y^2$$ , получим:

(1 - y\sqrt{5})^2 + (1 + y\sqrt{5})^2 = 9y, \quad 2 + 10y^2 = 9y, \quad 10y^2 - 9y + 2 = 0.

\(D = 81 - 80 = 1\)

y = \dfrac{9 \pm 1}{20}

y_1 = 0{,}5

y_2 = 0{,}4

Проверка: $5 \cdot 0{,}25 = 1{,}25 \ne 1$ , $5 \cdot 0{,}16 = 0{,}8 \ne 1$ . Оба корня подходят.

Ответ

0,4; 0,5

Почему так

Сумма квадратов сопряжённых выражений не содержит корней, и уравнение сводится к квадратному.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-803/