Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 804

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить уравнение (2x + 1)/(2x − 1) − 3(2x − 1)/(7(2x + 1)) + 8/(1 − 4x²) = 0.

Решение

$$1 - 4x^2 = -(2x - 1)(2x + 1)$$ . Общий знаменатель $$7(2x - 1)(2x + 1)$$ ; условие $x \ne \pm\dfrac{1}{2}$ .

Умножим уравнение на общий знаменатель:

\[7(2x + 1)^2 - 3(2x - 1)^2 - 56 = 0.\]

28x^2 + 28x + 7 - 12x^2 + 12x - 3 - 56 = 0, \quad 16x^2 + 40x - 52 = 0, \quad 4x^2 + 10x - 13 = 0.

D = 100 + 208 = 308 = 4 \cdot 77

x = \dfrac{-10 \pm 2\sqrt{77}}{8} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{77}}{4}

Ни один корень не равен $\pm\dfrac{1}{2}$ (числа иррациональные).

Ответ

(−5 − √77)/4; (−5 + √77)/4

Почему так

Знаменатель 1 − 4x² раскладываем как −(2x − 1)(2x + 1) и меняем знак перед дробью.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить уравнение y/(y² − 9) − 1/(y² + 3y) + 3/(6y + 2y²) = 0.

Решение

Разложим знаменатели: $$y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)$$ , $$y^2 + 3y = y(y + 3)$$ , $$6y + 2y^2 = 2y(y + 3)$$ . Общий знаменатель $$2y(y - 3)(y + 3)$$ ; условие $y \ne 0$ , $y \ne \pm 3$ .

Умножим на общий знаменатель:

2y \cdot y - 2(y - 3) + 3(y - 3) = 0, \quad 2y^2 + y - 3 = 0.

\(D = 1 + 24 = 25\)

y = \dfrac{-1 \pm 5}{4}

\(y_1 = 1\)

y_2 = -1{,}5

. Оба подходят.

Ответ

−1,5; 1

Почему так

После разложения знаменателей на множители уравнение сводится к квадратному.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить уравнение (2y − 1)/(14y² + 7y) + 8/(12y² − 3) = (2y + 1)/(6y² − 3y).

Решение

Разложим знаменатели: $$14y^2 + 7y = 7y(2y + 1)$$ , $$12y^2 - 3 = 3(2y - 1)(2y + 1)$$ , $$6y^2 - 3y = 3y(2y - 1)$$ . Общий знаменатель $$21y(2y - 1)(2y + 1)$$ ; условие $y \ne 0$ , $y \ne \pm\dfrac{1}{2}$ .

Умножим на общий знаменатель:

\[3(2y - 1)^2 + 56y = 7(2y + 1)^2.\]

12y^2 - 12y + 3 + 56y = 28y^2 + 28y + 7, \quad 16y^2 - 16y + 4 = 0, \quad (2y - 1)^2 = 0.

Единственный корень

y = \dfrac{1}{2}

обращает знаменатели

\(12y^2 - 3\)

\(6y^2 - 3y\)

в нуль — он посторонний.

Ответ

Корней нет

Почему так

Корень получившегося целого уравнения оказался посторонним — он не входит в область определения.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить уравнение 3/(x² − 9) − 1/(9 − 6x + x²) = 3/(2x² + 6x).

Решение

Разложим знаменатели: $$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$ , $$9 - 6x + x^2 = (x - 3)^2$$ , $$2x^2 + 6x = 2x(x + 3)$$ . Общий знаменатель $$2x(x - 3)^2(x + 3)$$ ; условие $x \ne 0$ , $x \ne \pm 3$ .

Умножим на общий знаменатель:

\[6x(x - 3) - 2x(x + 3) = 3(x - 3)^2.\]

6x^2 - 18x - 2x^2 - 6x = 3x^2 - 18x + 27, \quad x^2 - 6x - 27 = 0.

\(x_1 = 9\)

\(x_2 = -3\)

. Число

\(-3\)

обращает знаменатели в нуль — посторонний корень.

Ответ

Почему так

После умножения на общий знаменатель обязательно отбрасываем корни, при которых он равен нулю.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить уравнение (9x + 12)/(x³ − 64) − 1/(x² + 4x + 16) = 1/(x − 4).

Решение

$$x^3 - 64 = (x - 4)(x^2 + 4x + 16)$$ , причём $$x^2 + 4x + 16 = (x + 2)^2 + 12 > 0$$ . Условие $x \ne 4$ .

Умножим на $$x^3 - 64$$ , получим:

9x + 12 - (x - 4) = x^2 + 4x + 16, \quad 8x + 16 = x^2 + 4x + 16, \quad x^2 - 4x = 0.

\(x_1 = 0\)

\(x_2 = 4\)

. Число 4 — посторонний корень.

Ответ

Почему так

Разность кубов x³ − 64 раскладывается на (x − 4)(x² + 4x + 16) — это и есть общий знаменатель.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить уравнение 3/(8y³ + 1) − 1/(2y + 1) = (y + 3)/(4y² − 2y + 1).

Решение

$$8y^3 + 1 = (2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$$ , причём $$4y^2 - 2y + 1 > 0$$ при всех $$y$$ (дискриминант $$4 - 16 < 0$$ ). Условие $y \ne -\dfrac{1}{2}$ .

Умножим на $$8y^3 + 1$$ , получим:

3 - (4y^2 - 2y + 1) = (y + 3)(2y + 1), \quad 2 + 2y - 4y^2 = 2y^2 + 7y + 3, \quad 6y^2 + 5y + 1 = 0.

\(D = 25 - 24 = 1\)

y = \dfrac{-5 \pm 1}{12}

y_1 = -\dfrac{1}{3}

y_2 = -\dfrac{1}{2}

. Число

-\dfrac{1}{2}

— посторонний корень.

Ответ

−1/3

Почему так

Сумма кубов 8y³ + 1 = (2y + 1)(4y² − 2y + 1) даёт общий знаменатель.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 7

Условие (кратко)

ж) Решить уравнение 32/(x³ − 2x² − x + 2) + 1/((x − 1)(x − 2)) = 1/(x + 1).

Решение

Разложим группировкой: $$x^3 - 2x^2 - x + 2 = x^2(x - 2) - (x - 2) = (x - 2)(x - 1)(x + 1)$$ . Условие $x \ne \pm 1$ , $x \ne 2$ .

Умножим на $$(x - 2)(x - 1)(x + 1)$$ , получим:

32 + (x + 1) = (x - 1)(x - 2), \quad x + 33 = x^2 - 3x + 2, \quad x^2 - 4x - 31 = 0.

\(D_1 = 4 + 31 = 35\)

x = 2 \pm \sqrt{35}

. Оба корня иррациональны и не совпадают с

\pm 1

и 2.

Ответ

2 − √35; 2 + √35

Почему так

Многочлен третьей степени раскладывается способом группировки, после чего уравнение сводится к квадратному.

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Задача 8

Условие (кратко)

з) Решить уравнение 1/(3(x − 4)) + 1/(2(x² + 3)) + 1/(x³ − 4x² + 3x − 12) = 0.

Решение

Разложим группировкой: $$x^3 - 4x^2 + 3x - 12 = x^2(x - 4) + 3(x - 4) = (x - 4)(x^2 + 3)$$ . Так как $$x^2 + 3 > 0$$ , условие одно: $x \ne 4$ . Общий знаменатель $$6(x - 4)(x^2 + 3)$$ .

Умножим на него:

2(x^2 + 3) + 3(x - 4) + 6 = 0, \quad 2x^2 + 3x = 0, \quad x(2x + 3) = 0.

\(x_1 = 0\)

x_2 = -1{,}5

. Оба подходят.

Ответ

−1,5; 0

Почему так

Знаменатель третьей дроби раскладывается группировкой на (x − 4)(x² + 3).

Подробнее — в теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-804/