Задача 1
Условие (кратко)
Туристы прошли 12,5 км, 18 км и 14 км; скорость на 1-м переходе на 1 км/ч меньше, чем на 2-м, и на 1 км/ч больше, чем на 3-м. Третий переход дольше второго на 30 мин. Сколько времени заняли переходы?
Решение
Дано
- переходы 12,5 км
- 18 км
- 14 км; \(v_1 = v_2 - 1 = v_3 + 1\); \(t_3 - t_2 = 0{,}5\) ч
Найти
- \(t_1 + t_2 + t_3\)
Пусть \(x\) км/ч — скорость на первом переходе. Тогда на втором \(x + 1\), на третьем \(x - 1\) км/ч (\(x > 1\)).
\[\dfrac{14}{x - 1} - \dfrac{18}{x + 1} = \dfrac{1}{2}.\]
Умножим на \(2(x - 1)(x + 1)\): \(28(x + 1) - 36(x - 1) = x^2 - 1\), \(64 - 8x = x^2 - 1\), \(x^2 + 8x - 65 = 0\), \(x_1 = 5\), \(x_2 = -13\) (не подходит: скорость положительна).
Скорости 5, 6 и 4 км/ч. Время: \(\dfrac{12{,}5}{5} + \dfrac{18}{6} + \dfrac{14}{4} = 2{,}5 + 3 + 3{,}5 = 9\) ч.
Ответ
9 ч
Почему так
Разность времён на третьем и втором переходах даёт дробное уравнение относительно скорости.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».