Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Многие задачи про движение, работу, покупки и растворы сводятся к дробному рациональному уравнению. Неизвестную величину обозначают через \(x\), время (или количество) выражают дробью, составляют уравнение, решают его и оставляют только корни, подходящие по смыслу.
Подробное объяснение
Представьте: вы с другом едете на дачу за 30 км. Друг едет на велосипеде на 5 км/ч быстрее и приезжает на полчаса раньше. С какой скоростью ехали вы? Скорость неизвестна, поэтому время в пути можно записать только дробью: \(\dfrac{30}{x}\). Сравнение двух таких дробей и даёт дробное уравнение.
Таблица «скорость — время — путь»
Путь, скорость и время связаны формулой \(s = vt\). Отсюда время \(t = \dfrac{s}{v}\), скорость \(v = \dfrac{s}{t}\). Данные задачи удобно сложить в таблицу: по строке на каждого участника или участок пути.
| Участник | Скорость, км/ч | Время, ч | Путь, км |
|---|---|---|---|
| Вы | \(x\) | \(\dfrac{30}{x}\) | 30 |
| Друг | \(x + 5\) | \(\dfrac{30}{x+5}\) | 30 |
Друг был в пути на полчаса меньше, поэтому \(\dfrac{30}{x} - \dfrac{30}{x+5} = \dfrac{1}{2}\). Отсюда \(x^2 + 5x - 300 = 0\), корни \(15\) и \(-20\). Скорость не бывает отрицательной, значит, вы ехали со скоростью 15 км/ч.
Обратите внимание: из большего времени вычитаем меньшее. Медленный едет дольше.
Движение по реке
Если лодка плывёт по течению, вода её подталкивает: скорость \(v + u\), где \(v\) — скорость лодки в стоячей воде, \(u\) — скорость течения. Против течения вода мешает: скорость \(v - u\). По озеру течения нет — скорость равна \(v\). Смысл задачи требует \(v > u\), иначе против течения лодка стоит на месте или её сносит.
Задачи на работу
Здесь та же таблица, только вместо скорости — производительность (сколько работы делается за час), вместо пути — объём работы. Если объём неизвестен, всю работу принимают за 1. Кто справляется за \(x\) часов, тот за час делает \(\dfrac{1}{x}\) работы. При совместной работе производительности складываются: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{t}\), где \(t\) — время совместной работы.
По такой же схеме решают задачи о покупках (количество = сумма : цена), урожае (площадь = урожай : урожайность) и растворах (концентрация = масса вещества : масса раствора).
Отбор корней
Уравнение «не знает», что \(x\) — это скорость или число людей. Поэтому после решения обязательно проверьте каждый корень: скорость и время положительны, скорость лодки больше скорости течения, число людей натуральное. Иногда по смыслу подходят оба корня — тогда у задачи два ответа.
Как решать
- Прочитайте условие и решите, что обозначить через \(x\) (обычно то, что спрашивают, или величину, через которую проще выразить остальное).
- Переведите все величины в одни единицы (минуты — в часы: 20 мин = \(\dfrac{1}{3}\) ч).
- Заполните таблицу: две известные величины в строке, третью выразите через них дробью.
- Найдите в условии, что с чем сравнивается («на 1 ч раньше», «всего 3 ч», «столько же времени»), и составьте уравнение.
- Умножьте обе части на общий знаменатель, решите получившееся квадратное уравнение.
- Проверьте, что знаменатели не обращаются в нуль, и отберите корни по смыслу задачи.
- Ответьте именно на вопрос задачи: иногда нужен не \(x\), а величина, выраженная через него.
Разобранные примеры
Два велосипедиста
Два велосипедиста одновременно выехали из посёлка в город, расстояние до которого 60 км. Скорость первого на 3 км/ч больше, и он приехал на 1 ч раньше. Найдите скорости велосипедистов.
- \(s = 60\) км
- разность скоростей 3 км/ч
- разность времён 1 ч
- скорости
Пусть \(x\) км/ч — скорость второго, тогда первого \((x + 3)\) км/ч. Время в пути \(\dfrac{60}{x}\) ч и \(\dfrac{60}{x+3}\) ч. Второй ехал дольше на 1 ч:
Умножим на \(x(x+3)\): \(60(x + 3) - 60x = x^2 + 3x\), то есть \(x^2 + 3x - 180 = 0\). \(D = 9 + 720 = 729 = 27^2\), \(x_1 = 12\), \(x_2 = -15\). Отрицательная скорость невозможна, поэтому \(x = 12\).
Проверка: \(60 : 12 = 5\) ч, \(60 : 15 = 4\) ч — разница 1 ч.
Скорость течения
Моторная лодка, скорость которой в стоячей воде 18 км/ч, прошла 40 км по течению и столько же обратно, затратив на весь путь 4,5 ч. Найдите скорость течения.
- \(v = 18\) км/ч
- путь в каждую сторону 40 км
- общее время 4,5 ч
- скорость течения \(u\)
Пусть \(x\) км/ч — скорость течения, \(0 < x < 18\). По течению лодка шла \(\dfrac{40}{18+x}\) ч, против — \(\dfrac{40}{18-x}\) ч:
Умножим обе части на \((18 + x)(18 - x) = 324 - x^2\), получим \(40(18 - x) + 40(18 + x) = 4{,}5(324 - x^2)\), \(1440 = 1458 - 4{,}5x^2\), \(x^2 = 4\). Корни \(2\) и \(-2\); скорость течения положительна, значит, \(x = 2\).
Проверка: \(40 : 20 = 2\) ч, \(40 : 16 = 2{,}5\) ч, всего 4,5 ч.
Две трубы
Две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 12 ч. Первая труба одна наполняет его на 10 ч быстрее, чем вторая. За сколько часов наполняет бассейн каждая труба?
- вместе 12 ч
- первая быстрее второй на 10 ч
- время каждой трубы
Весь бассейн примем за 1. Пусть первая труба наполняет его за \(x\) ч, вторая — за \((x + 10)\) ч. За час они наливают \(\dfrac{1}{x}\) и \(\dfrac{1}{x+10}\) бассейна, вместе — \(\dfrac{1}{12}\):
Умножим на \(12x(x+10)\): \(12(x + 10) + 12x = x^2 + 10x\), \(x^2 - 14x - 120 = 0\). \(D = 196 + 480 = 676 = 26^2\), \(x_1 = 20\), \(x_2 = -6\). Время не бывает отрицательным, значит, \(x = 20\).
Проверка: \(\dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{30} = \dfrac{3}{60} + \dfrac{2}{60} = \dfrac{1}{12}\).
Типичные ошибки
Скорость дана в километрах в час, значит, время в дробях \(\dfrac{s}{v}\) получается в часах. Если написать «\(\dfrac{20}{x} - \dfrac{20}{x+2} = 20\)» для разницы в 20 минут, уравнение сравнивает часы с минутами и даёт неверный ответ.
Сначала переведите все величины в одни единицы: 20 мин = \(\dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}\) ч, 2 ч 15 мин = \(\dfrac{9}{4}\) ч. Уравнение: \(\dfrac{20}{x} - \dfrac{20}{x+2} = \dfrac{1}{3}\).
Если из времени быстрого вычесть время медленного, разность получится отрицательной, а её приравнивают к положительному числу («на 1 ч раньше»). Такое уравнение даёт посторонние или отрицательные корни.
Из большего вычитают меньшее. Кто едет быстрее, тот тратит меньше времени: \(t_{\text{медл}} - t_{\text{быстр}} = 1\). Удобно сначала прикинуть, какая дробь больше: у дроби \(\dfrac{60}{x}\) знаменатель меньше, чем у \(\dfrac{60}{x+3}\), значит, она больше.
Туда 60 км/ч, обратно 40 км/ч — и пишут, что средняя скорость 50 км/ч. Но обратно автомобиль ехал дольше, поэтому медленная скорость «весит» больше. Настоящая средняя скорость меньше 50.
Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время: \(v_{\text{ср}} = \dfrac{2s}{\frac{s}{60} + \frac{s}{40}} = 48\) км/ч. Расстояние \(s\) обозначьте буквой — оно сократится.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Скорость лодки в стоячей воде \(v\) км/ч, скорость течения \(u\) км/ч. Чему равна скорость лодки против течения?
Показать ответ
Ответ: Б) \(v - u\)
Течение мешает движению против течения, поэтому его скорость вычитается: \(v - u\).
-
Одна труба наполняет бак за 6 ч, другая — за 3 ч. За сколько часов наполнят бак обе трубы вместе?
Показать ответ
Ответ: 2
За час вместе: \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}\) бака, значит, весь бак — за 2 ч.
-
Скорость течения реки 3 км/ч. Какие из чисел могут быть скоростью лодки в стоячей воде (в км/ч), если лодка плывёт и по течению, и против течения?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: В) 3,5; Г) 12
Скорость лодки должна быть положительной и больше скорости течения, иначе против течения лодка не поплывёт: подходят 3,5 и 12.
-
Сколько часов составляют 40 минут?
Показать ответ
Ответ: Б) \(\dfrac{2}{3}\) ч
В часе 60 минут: \(\dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}\) ч. Записать «0,4 ч» — частая ошибка.
-
Туда автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, обратно — 40 км/ч. Какова средняя скорость на всём пути?
Показать ответ
Ответ: Б) 48 км/ч
При расстоянии \(s\) средняя скорость \(\dfrac{2s}{\frac{s}{60} + \frac{s}{40}} = \dfrac{2}{\frac{5}{120}} = 48\) км/ч, а не среднее арифметическое 50.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Автомобиль проехал 180 км. Если бы его скорость была на 15 км/ч больше, он затратил бы на этот путь на 1 ч меньше. Найдите скорость автомобиля.
Подсказка
Обозначьте скорость через \(x\) и запишите время в пути при двух скоростях дробями.
Решение
Пусть \(x\) км/ч — скорость автомобиля. Время \(\dfrac{180}{x}\) ч и \(\dfrac{180}{x+15}\) ч, разность 1 ч: \(\dfrac{180}{x} - \dfrac{180}{x+15} = 1\). Умножим на \(x(x+15)\): \(2700 = x^2 + 15x\), \(x^2 + 15x - 2700 = 0\), \(D = 11\,025 = 105^2\), \(x_1 = 45\), \(x_2 = -60\). Отрицательная скорость не подходит.
Ответ
Мастер изготавливает 120 деталей. Ученик делает в час на 4 детали меньше и тратит на 120 деталей на 5 ч больше. Сколько деталей в час делает мастер?
Подсказка
Время работы равно числу деталей, делённому на производительность.
Решение
Пусть мастер делает \(x\) деталей в час, ученик \(x - 4\). Уравнение: \(\dfrac{120}{x-4} - \dfrac{120}{x} = 5\). Умножим на \(x(x-4)\): \(480 = 5x^2 - 20x\), \(x^2 - 4x - 96 = 0\), \(x_1 = 12\), \(x_2 = -8\). Подходит только \(x = 12\): мастер работает 10 ч, ученик (8 деталей в час) — 15 ч.
Ответ
Катер, скорость которого в стоячей воде 11 км/ч, прошёл 30 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 5,5 ч. Найдите скорость течения.
Подсказка
По течению скорость \(11 + x\), против течения \(11 - x\); сумма времён равна 5,5 ч.
Решение
Пусть \(x\) км/ч — скорость течения, \(0 < x < 11\). Уравнение: \(\dfrac{30}{11+x} + \dfrac{30}{11-x} = 5{,}5\). Умножим обе части на \(121 - x^2\) и получим \(30(11 - x) + 30(11 + x) = 5{,}5(121 - x^2)\), \(660 = 665{,}5 - 5{,}5x^2\), \(x^2 = 1\), \(x = 1\) (корень \(-1\) не подходит).
Ответ
Два маляра, работая вместе, покрасят забор за 4 ч. Первому одному на это нужно на 6 ч меньше, чем второму. За сколько часов покрасит забор каждый маляр?
Подсказка
Всю работу примите за 1. За час первый делает \(\dfrac{1}{x}\) работы, второй — \(\dfrac{1}{x+6}\).
Решение
Пусть первый красит забор за \(x\) ч, второй за \((x + 6)\) ч. Вместе за час они делают \(\dfrac{1}{4}\) работы: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+6} = \dfrac{1}{4}\). Умножим на \(4x(x+6)\): \(4(2x + 6) = x^2 + 6x\), \(x^2 - 2x - 24 = 0\), \(x_1 = 6\), \(x_2 = -4\) (не подходит). Первый — 6 ч, второй — 12 ч.
Ответ
Велосипедист ехал из деревни в город с постоянной скоростью, а обратно — со скоростью на 10 км/ч меньшей. Средняя скорость на всём пути 24 км/ч. Найдите скорость велосипедиста на пути в город.
Подсказка
Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. Расстояние обозначьте буквой \(s\) — оно сократится.
Решение
Пусть \(x\) км/ч — скорость в город, \(s\) км — расстояние. Средняя скорость \(\dfrac{2s}{\frac{s}{x} + \frac{s}{x-10}} = \dfrac{2x(x-10)}{2x-10} = \dfrac{x(x-10)}{x-5}\). Уравнение \(\dfrac{x(x-10)}{x-5} = 24\): \(x^2 - 10x = 24x - 120\), \(x^2 - 34x + 120 = 0\), \(D = 676 = 26^2\), \(x_1 = 30\), \(x_2 = 4\). При \(x = 4\) обратная скорость \(4 - 10 < 0\) — не подходит.
Ответ
В растворе содержится 18 г соли. После того как добавили 30 г воды, концентрация соли уменьшилась на 3%. Найдите первоначальную массу раствора.
Подсказка
Концентрация — это \(\dfrac{18}{x} \cdot 100\%\); масса соли не меняется.
Решение
Пусть \(x\) г — масса раствора. Уравнение: \(\dfrac{1800}{x} - \dfrac{1800}{x+30} = 3\). Умножим на \(x(x+30)\): \(1800 \cdot 30 = 3x^2 + 90x\), \(x^2 + 30x - 18\,000 = 0\), \(D = 72\,900 = 270^2\), \(x_1 = 120\), \(x_2 = -150\) (не подходит). Проверка: было \(18 : 120 = 15\%\), стало \(18 : 150 = 12\%\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите поездку, знакомую ребёнку: до бабушки 120 км. Спросите, сколько ехать со скоростью 60 км/ч, а сколько — 80 км/ч (2 ч и 1,5 ч). Затем переверните вопрос: «Если ехать на 20 км/ч быстрее, приедем на полчаса раньше. С какой скоростью мы ехали?» Нарисуйте вместе таблицу «скорость — время — путь» и покажите, что неизвестное время записывается дробью \(\dfrac{120}{x}\). Так задача превращается в уравнение.
Вопросы для проверки понимания: 1) Как найти время, если известны путь и скорость? 2) Почему скорость лодки по течению больше, чем против течения? 3) Если работник делает всю работу за 5 ч, какую часть работы он делает за 1 ч?
На что обратить внимание. Ребёнок должен сам объяснять, что обозначено через \(x\), и проверять единицы измерения. После решения уравнения попросите его сказать, почему отброшен второй корень, и проверить ответ по условию — например, что разница во времени действительно равна данной.