Задача 1
Условие (кратко)
Автомобили из А и В выезжают навстречу и встречаются через 5 ч; первый (из А) медленнее на 10 км/ч. Выйди он на 4,5 ч раньше, встреча была бы в 150 км от В. Найти АВ. Задание повышенной трудности.
Решение
Дано
- встреча через 5 ч; \(v_1 = v_2 - 10\) км/ч; при выезде первого на \(4\dfrac{1}{2}\) ч раньше встреча в 150 км от В
Найти
- \(AB\)
Пусть \(x\) км/ч — скорость первого автомобиля (\(x > 0\)), тогда скорость второго \(x + 10\) км/ч. За 5 ч они вместе проезжают всё расстояние:
\[AB = 5(x + x + 10) = 10x + 50.\]
Во втором случае второй автомобиль до встречи проехал 150 км за \(\dfrac{150}{x + 10}\) ч, а первый проехал \(10x + 50 - 150 = 10x - 100\) км и был в пути на \(4{,}5\) ч дольше:
\[\frac{10x - 100}{x} = \frac{150}{x + 10} + 4{,}5.\]
Умножим на \(2x(x + 10)\):
\[2(10x - 100)(x + 10) = 300x + 9x(x + 10),\]
\[20x^2 - 2000 = 9x^2 + 390x,\]
\[11x^2 - 390x - 2000 = 0.\]
\(D = 390^2 + 4 \cdot 11 \cdot 2000 = 152100 + 88000 = 240100 = 490^2\),
\[x_1 = \frac{390 + 490}{22} = 40, \qquad x_2 = \frac{390 - 490}{22} = -\frac{50}{11}.\]
Скорость не может быть отрицательной, поэтому \(x = 40\) км/ч, скорость второго 50 км/ч.
\(AB = 10 \cdot 40 + 50 = 450\) км.
Ответ
450 км
Почему так
Время первого автомобиля во втором случае больше времени второго на 4,5 ч — это даёт дробное уравнение, сводящееся к квадратному.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».