Задача 1
Условие (кратко)
Катер идёт от М до N по течению 6 ч. Не дойдя 40 км до N, он вернулся в М, затратив на весь путь 9 ч. Течение 2 км/ч. Найти скорость катера в стоячей воде. Задание повышенной трудности.
Решение
Дано
- \(t_{MN} = 6\) ч по течению; путь до поворота на 40 км короче \(MN\); весь путь туда и обратно 9 ч; \(v_{\text{теч}} = 2\) км/ч
Найти
- \(v\)
Пусть \(x\) км/ч — скорость катера в стоячей воде (\(x > 2\), иначе катер не смог бы идти против течения). Скорость по течению \(x + 2\), против течения \(x - 2\) км/ч.
\(MN = 6(x + 2) = 6x + 12\) км, катер прошёл до поворота \(6x + 12 - 40 = 6x - 28\) км и столько же обратно:
\[\frac{6x - 28}{x + 2} + \frac{6x - 28}{x - 2} = 9.\]
Умножим на \((x + 2)(x - 2)\):
\[(6x - 28)(x - 2 + x + 2) = 9(x^2 - 4),\]
\[12x^2 - 56x = 9x^2 - 36,\]
\[3x^2 - 56x + 36 = 0.\]
\(D = 56^2 - 4 \cdot 3 \cdot 36 = 3136 - 432 = 2704 = 52^2\),
\[x_1 = \frac{56 + 52}{6} = 18, \qquad x_2 = \frac{56 - 52}{6} = \frac{2}{3}.\]
Корень \(\dfrac{2}{3}\) не подходит: он меньше скорости течения (и путь \(6x - 28\) получился бы отрицательным). Значит, \(x = 18\) км/ч.
Проверка: \(MN = 120\) км, до поворота 80 км; \(\dfrac{80}{20} + \dfrac{80}{16} = 4 + 5 = 9\) ч.
Ответ
18 км/ч
Почему так
Время по течению и против течения на одном и том же участке складываем — получаем дробное уравнение.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».