Задача 1
Условие (кратко)
Мотоциклист проехал из М в N за 5 ч. Обратно первые 36 км ехал с той же скоростью, остальное — на 3 км/ч быстрее, и затратил на 15 мин меньше. Найти первоначальную скорость.
Решение
Дано
- \(t_{MN} = 5\) ч; обратно 36 км со скоростью \(v\)
- остальное со скоростью \(v + 3\); обратный путь на 15 мин короче
Найти
- \(v\)
Пусть \(x\) км/ч — первоначальная скорость (\(x > 0\)). Тогда \(MN = 5x\) км. Обратный путь занял \(5 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{19}{4}\) ч:
\[\frac{36}{x} + \frac{5x - 36}{x + 3} = \frac{19}{4}.\]
Умножим на \(4x(x + 3)\):
\[144(x + 3) + 4x(5x - 36) = 19x(x + 3),\]
\[144x + 432 + 20x^2 - 144x = 19x^2 + 57x,\]
\[x^2 - 57x + 432 = 0.\]
\(D = 57^2 - 4 \cdot 432 = 3249 - 1728 = 1521 = 39^2\),
\[x_1 = \frac{57 + 39}{2} = 48, \qquad x_2 = \frac{57 - 39}{2} = 9.\]
Оба корня подходят: при \(x = 48\) путь 240 км, при \(x = 9\) путь 45 км — в обоих случаях больше 36 км.
Проверка для \(x = 9\): \(\dfrac{36}{9} + \dfrac{9}{12} = 4{,}75\) ч \(= 5\) ч \(- 15\) мин.
Ответ
48 км/ч или 9 км/ч
Почему так
Время обратного пути складывается из двух участков с разными скоростями и на 1/4 ч меньше 5 ч.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».