Алгебра 8 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, Дополнительные упражнения к главе III, задание 823

Задача 1

Условие (кратко)

Первая мастерская должна сшить 160 костюмов, вторая за тот же срок — на 25% меньше. Первая шила в день на 10 больше и закончила на 2 дня раньше срока, вторая — на 2 дня позже. Сколько шила в день вторая?

Решение

Дано

план первой 160 костюмов
второй на 25% меньше; первая шьёт в день на 10 больше второй; первая закончила на 2 дня раньше срока
вторая на 2 дня позже

Найти

производительность второй

План второй мастерской: $160 \cdot 0{,}75 = 120$ костюмов.

Пусть $$x$$ — число костюмов, которое вторая мастерская шила в день ( $$x > 0$$ ), тогда первая шила $$x + 10$$ . Первая работала $\dfrac{160}{x + 10}$ дней, вторая $\dfrac{120}{x}$ дней. Вторая работала на $$2 + 2 = 4$$ дня дольше первой:

\frac{120}{x} - \frac{160}{x + 10} = 4.

Умножим на

\(x(x + 10)\)

\[120(x + 10) - 160x = 4x(x + 10),\]

\[1200 - 40x = 4x^2 + 40x,\]

\[x^2 + 20x - 300 = 0.\]

\(x_1 = 10\)

\(x_2 = -30\)

(по теореме, обратной теореме Виета:

\(10 + (-30) = -20\)

10 \cdot (-30) = -300

). Отрицательный корень не подходит.

Проверка: вторая работала $$120 : 10 = 12$$ дней, первая $$160 : 20 = 8$$ дней; срок 10 дней: $$8 = 10 - 2$$ , $$12 = 10 + 2$$ .

Ответ

10 костюмов

Почему так

Время работы каждой мастерской отличается от одного и того же срока на 2 дня, значит, времена отличаются на 4 дня.

Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).