Задача 1
Условие (кратко)
Сплав меди с цинком, содержащий 6 кг цинка, сплавили с 13 кг цинка, и содержание меди понизилось на 26%. Какова была первоначальная масса сплава?
Решение
Дано
- цинка в сплаве 6 кг; добавили 13 кг цинка; доля меди уменьшилась на 26%
Найти
- первоначальную массу \(m\)
Пусть \(x\) кг — первоначальная масса сплава (\(x > 6\)). Меди в нём \(x - 6\) кг, после добавления цинка масса \(x + 13\) кг, а меди столько же. Доли меди отличаются на \(0{,}26\):
\[\frac{x - 6}{x} - \frac{x - 6}{x + 13} = 0{,}26.\]
Левая часть равна \(\dfrac{13(x - 6)}{x(x + 13)}\), поэтому
\[13(x - 6) = 0{,}26x(x + 13).\]
Разделим на 13:
\[x - 6 = 0{,}02x^2 + 0{,}26x \;\Rightarrow\; 0{,}02x^2 - 0{,}74x + 6 = 0 \;\Rightarrow\; x^2 - 37x + 300 = 0.\]
\(D = 37^2 - 1200 = 1369 - 1200 = 169 = 13^2\), \(x_1 = \dfrac{37 + 13}{2} = 25\), \(x_2 = \dfrac{37 - 13}{2} = 12\).
Оба корня больше 6, оба подходят. Проверка: при 25 кг меди \(\dfrac{19}{25} = 76\%\), затем \(\dfrac{19}{38} = 50\%\); при 12 кг меди \(\dfrac{6}{12} = 50\%\), затем \(\dfrac{6}{25} = 24\%\) — в обоих случаях на 26% меньше.
Ответ
25 кг или 12 кг
Почему так
Масса меди не меняется, а масса сплава растёт на 13 кг, поэтому доля меди падает; разность долей даёт дробное уравнение.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».