Задача 1
Условие (кратко)
За 4 дня совместной работы два трактора вспахали 2/3 поля. За сколько дней вспахал бы всё поле каждый трактор, если первый вспахивает его на 5 дней быстрее второго?
Решение
Дано
- вместе за 4 дня — \(\dfrac{2}{3}\) поля; первый вспахивает поле на 5 дней быстрее второго
Найти
- \(t_1\)
- \(t_2\)
Пусть первый трактор вспашет поле за \(x\) дней (\(x > 0\)), тогда второй — за \(x + 5\) дней. За день они вспахивают \(\dfrac{1}{x}\) и \(\dfrac{1}{x + 5}\) поля:
\[4\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}\right) = \frac{2}{3}.\]
Умножим на \(\dfrac{3}{2}x(x + 5)\):
\[6(x + 5 + x) = x(x + 5),\]
\[x^2 - 7x - 30 = 0.\]
\(x_1 = 10\), \(x_2 = -3\) (по теореме, обратной теореме Виета). Отрицательный корень не подходит.
Первый трактор — 10 дней, второй — 15 дней. Проверка: \(4\left(\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15}\right) = 4 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}\).
Ответ
Первый — за 10 дней, второй — за 15 дней
Почему так
Всю работу принимаем за 1, производительность — величина, обратная времени выполнения всей работы.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».