Задача 1
Условие (кратко)
Два комбайна вместе соберут хлопок с поля на 9 дней быстрее, чем один первый, и на 4 дня быстрее, чем один второй. За сколько дней каждый комбайн соберёт весь хлопок? Задание повышенной трудности.
Решение
Дано
- вместе на 9 дней быстрее первого и на 4 дня быстрее второго
Найти
- \(t_1\)
- \(t_2\)
Пусть вместе комбайны соберут хлопок за \(x\) дней (\(x > 0\)). Тогда первый — за \(x + 9\), второй — за \(x + 4\) дней. Сумма производительностей равна совместной:
\[\frac{1}{x + 9} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{x}.\]
Умножим на \(x(x + 9)(x + 4)\):
\[x(x + 4) + x(x + 9) = (x + 9)(x + 4),\]
\[2x^2 + 13x = x^2 + 13x + 36,\]
\[x^2 = 36.\]
\(x = 6\) (\(x = -6\) не подходит).
Первый комбайн — \(6 + 9 = 15\) дней, второй — \(6 + 4 = 10\) дней. Проверка: \(\dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{6}\).
Ответ
Первый — за 15 дней, второй — за 10 дней
Почему так
Производительность при совместной работе равна сумме производительностей комбайнов.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».