Задача 1
Условие (кратко)
Через первую трубу бассейн наполняется на 9 ч дольше, чем через обе трубы, и на 7 ч быстрее, чем через одну вторую. За сколько часов наполнится бассейн через обе трубы? Задание повышенной трудности.
Решение
Дано
- \(t_1 = t + 9\)
- \(t_2 = t_1 + 7\)
- где \(t\) — время через обе трубы
Найти
- \(t\)
Пусть через обе трубы бассейн наполняется за \(x\) ч (\(x > 0\)). Тогда через первую — за \(x + 9\) ч, через вторую — за \(x + 9 + 7 = x + 16\) ч:
\[\frac{1}{x + 9} + \frac{1}{x + 16} = \frac{1}{x}.\]
Умножим на \(x(x + 9)(x + 16)\):
\[x(x + 16) + x(x + 9) = (x + 9)(x + 16),\]
\[2x^2 + 25x = x^2 + 25x + 144,\]
\[x^2 = 144.\]
\(x = 12\) (\(x = -12\) не подходит).
Проверка: первая труба 21 ч, вторая 28 ч; \(\dfrac{1}{21} + \dfrac{1}{28} = \dfrac{4 + 3}{84} = \dfrac{1}{12}\).
Ответ
12 ч
Почему так
При совместной работе производительности труб складываются; время — величина, обратная производительности.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».