Задача 1
Условие (кратко)
Сначала 1 ч работал первый слесарь, затем 4 ч оба вместе — выполнено 40% заказа. За сколько часов каждый выполнил бы заказ, если первому нужно на 5 ч больше, чем второму? Задание повышенной трудности.
Решение
Дано
- первый работал \(1 + 4 = 5\) ч
- второй 4 ч
- выполнено \(0{,}4\) заказа; \(t_1 = t_2 + 5\)
Найти
- \(t_1\)
- \(t_2\)
Пусть второй слесарь выполнит заказ за \(x\) ч (\(x > 0\)), тогда первый — за \(x + 5\) ч. Первый работал всего 5 ч, второй — 4 ч:
\[\frac{5}{x + 5} + \frac{4}{x} = 0{,}4.\]
Умножим на \(5x(x + 5)\):
\[25x + 20(x + 5) = 2x(x + 5),\]
\[45x + 100 = 2x^2 + 10x,\]
\[2x^2 - 35x - 100 = 0.\]
\(D = 35^2 + 8 \cdot 100 = 1225 + 800 = 2025 = 45^2\),
\[x_1 = \frac{35 + 45}{4} = 20, \qquad x_2 = \frac{35 - 45}{4} = -2{,}5\]
— отрицательный корень не подходит.
Второй слесарь — 20 ч, первый — 25 ч. Проверка: \(\dfrac{5}{25} + \dfrac{4}{20} = 0{,}2 + 0{,}2 = 0{,}4\), то есть 40%.
Ответ
Первый — за 25 ч, второй — за 20 ч
Почему так
Доля выполненной работы равна времени работы, делённому на время выполнения всего заказа; доли слесарей складываются.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».