Задача 1
Условие (кратко)
Две копировальные машины вместе копируют рукопись за 6 мин. Если половину скопировать одной, а остальное другой, уйдёт 12,5 мин. За какое время копирует рукопись каждая машина? Задание повышенной трудности.
Решение
Дано
- вместе 6 мин; половина первой машиной и половина второй — \(12{,}5\) мин
Найти
- \(t_1\)
- \(t_2\)
Пусть первая машина копирует всю рукопись за \(x\) мин, вторая — за \(y\) мин. Половину рукописи машины копируют за \(\dfrac{x}{2}\) и \(\dfrac{y}{2}\) мин, поэтому
\[\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 12{,}5 \;\Rightarrow\; x + y = 25,\quad y = 25 - x \;(0 < x < 25).\]
При совместной работе:
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{25 - x} = \frac{1}{6}.\]
Умножим на \(6x(25 - x)\):
\[6(25 - x) + 6x = x(25 - x),\]
\[150 = 25x - x^2,\]
\[x^2 - 25x + 150 = 0.\]
\(x_1 = 10\), \(x_2 = 15\) (сумма 25, произведение 150). Тогда \(y = 15\) или \(y = 10\).
Одна машина копирует рукопись за 15 мин, другая — за 10 мин. Проверка: \(\dfrac{1}{15} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{1}{6}\), \(7{,}5 + 5 = 12{,}5\).
Ответ
Одна машина — за 15 мин, другая — за 10 мин
Почему так
Из второго условия сумма времён равна 25 мин, из первого — сумма производительностей равна 1/6.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений».