Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 833

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сколько решений имеет система 3x − 6y = 5, 2x + 3y = 7?

Решение

Сравним отношения коэффициентов при переменных:

\frac{3}{2} \ne \frac{-6}{3} = -2.

Коэффициенты при

\(x\)

\(y\)

не пропорциональны — прямые пересекаются, система имеет единственное решение.

Ответ

Одно решение

Почему так

Если коэффициенты при x и y не пропорциональны, прямые пересекаются в одной точке.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Сколько решений имеет система 4x − 3y = 12, (1/3)x − (1/4)y = 1?

Решение

Умножим второе уравнение на 12:

12 \cdot \left(\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}y\right) = 12 \;\Rightarrow\; 4x - 3y = 12.

Получилось то же уравнение, что и первое:

\dfrac{4}{1/3} = \dfrac{-3}{-1/4} = \dfrac{12}{1} = 12

. Прямые совпадают, система имеет бесконечно много решений.

Ответ

Бесконечно много решений

Почему так

Если все коэффициенты и свободные члены пропорциональны, уравнения задают одну и ту же прямую.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Сколько решений имеет система 0,5x + 2y = 0,8, 2,5x + 10y = 6?

Решение

Умножим первое уравнение на 5:

\[2{,}5x + 10y = 4.\]

Левые части уравнений совпадают, а правые различны:

4 \ne 6

. То есть

\dfrac{0{,}5}{2{,}5} = \dfrac{2}{10} \ne \dfrac{0{,}8}{6}

— прямые параллельны, система не имеет решений.

Ответ

Решений нет

Почему так

Если коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены нет, прямые параллельны.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Сколько решений имеет система 2x − 0,3y = 1, 4x + 0,6y = 1?

Решение

Сравним отношения коэффициентов:

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \qquad \frac{-0{,}3}{0{,}6} = -\frac{1}{2}.

Коэффициенты не пропорциональны — система имеет единственное решение.

(Его легко найти: умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым, $$8x = 3$$ , $x = \dfrac{3}{8}$ , $y = -\dfrac{5}{6}$ .)

Ответ

Одно решение

Почему так

Если коэффициенты при x и y не пропорциональны, прямые пересекаются в одной точке.

Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-3/upr-833/