Что означает, что прямые — графики уравнений системы — совпадают?

Система имеет бесконечно много решений

Система имеет ровно одно решение

Система имеет ровно два решения

Исследование систем линейных уравнений

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Уравнение с двумя переменными и его график

Коротко о главном

Если оба уравнения системы записать в виде $$y = kx + b$$ , число решений видно сразу: угловые коэффициенты разные — решение одно; коэффициенты равны, а свободные члены разные — решений нет; совпадает всё — решений бесконечно много.

\begin{cases} y = k_1x + b_1, \\ y = k_2x + b_2 \end{cases} \quad k_1 \ne k_2 \Rightarrow \text{одно решение}

Подробное объяснение

Представьте две дороги на карте, нарисованные прямыми линиями. Если они идут под разными углами, где-нибудь обязательно встретятся, и перекрёсток будет ровно один. Если дороги идут под одним углом, но в разных местах, они параллельны и не встретятся никогда. А если это одна и та же дорога, нарисованная дважды, то «общих точек» у них столько, сколько точек на дороге, — бесконечно много.

С системой двух линейных уравнений всё так же. График каждого линейного уравнения с двумя переменными — прямая. Решение системы — пара чисел $$(x; y)$$ , которая подходит в оба уравнения, то есть общая точка двух прямых. Две прямые на плоскости могут располагаться только тремя способами, поэтому и вариантов ответа всего три.

Три координатные плоскости. Слева две прямые пересекаются в одной точке, в центре две прямые параллельны, справа две прямые совпадают — одна лежит поверх другой. Под каждой — условие на k и число решений. — Сравните угловые коэффициенты: разные — одно решение; равные — нет решений или бесконечно много, смотря по b.

Как узнать расположение, не строя графиков

Выразим $$y$$ через $$x$$ в каждом уравнении. Получим $$y = k_1x + b_1$$ и $$y = k_2x + b_2$$ . Число $$k$$ — угловой коэффициент: он отвечает за наклон прямой. Число $$b$$ показывает, где прямая пересекает ось $$y$$ .

$k_1 \ne k_2$ — наклоны разные, прямые пересекаются, решение одно.
$$k_1 = k_2$$ , $b_1 \ne b_2$ — наклон одинаковый, но прямые проходят через разные точки оси $$y$$ : они параллельны, решений нет.
$$k_1 = k_2$$ , $$b_1 = b_2$$ — уравнения задают одну прямую, решений бесконечно много: подходит любое решение одного из уравнений.

Есть и способ без выражения $$y$$ . Для системы $$p_1x + q_1y = r_1$$ , $$p_2x + q_2y = r_2$$ (все коэффициенты второго уравнения не равны нулю) сравнивают отношения $\dfrac{p_1}{p_2}$ , $\dfrac{q_1}{q_2}$ , $\dfrac{r_1}{r_2}$ . Если первые два отношения разные — решение одно. Если все три равны — второе уравнение получается из первого умножением на число, решений бесконечно много. Если первые два равны, а третье другое — решений нет.

Отдельный случай — уравнение без $$y$$ , например $$2x = 6$$ . Оно задаёт вертикальную прямую $$x = 3$$ , записать её как $$y = kx + b$$ нельзя. Вертикальная прямая пересекает любую невертикальную ровно в одной точке.

Главное удобство такого исследования — ответ получается без решения системы. Это помогает в задачах с параметром: «при каком $$a$$ система не имеет решений?» сводится к условию $$k_1 = k_2$$ , $b_1 \ne b_2$ .

Как решать

Выразите $$y$$ через $$x$$ в каждом уравнении (если $$y$$ в уравнении нет — это вертикальная прямая).
Сравните угловые коэффициенты $$k_1$$ и $$k_2$$ . Разные — ответ «одно решение».
Если $$k_1 = k_2$$ , сравните свободные члены $$b_1$$ и $$b_2$$ : разные — «решений нет», равные — «бесконечно много решений».
Если просят найти единственное решение — приравняйте правые части и найдите $$x$$ , затем $$y$$ .

Разобранные примеры

База

Одно решение

Условие

Сколько решений имеет система $\begin{cases} 5x + y = 4, \\ y = 2x - 3? \end{cases}$

Решение

Из первого уравнения $$y = -5x + 4$$ , значит, $$k_1 = -5$$ . Во втором $$k_2 = 2$$ . Коэффициенты разные, прямые пересекаются, решение одно.

Ответ: Одно решение

Средний

Параллельные прямые

Условие

Сколько решений имеет система $\begin{cases} 3x - 6y = 9, \\ -x + 2y = 3? \end{cases}$

Решение

Из первого уравнения $$6y = 3x - 9$$ , $$y = 0{,}5x - 1{,}5$$ . Из второго $$2y = x + 3$$ , $$y = 0{,}5x + 1{,}5$$ .

Угловые коэффициенты равны ( $$0{,}5$$ ), свободные члены разные ( $-1{,}5 \ne 1{,}5$ ). Прямые параллельны.

Проверка через отношения: $\dfrac{3}{-1} = \dfrac{-6}{2} = -3$ , но $\dfrac{9}{3} = 3 \ne -3$ .

Ответ: Решений нет

Сложный

Подбор коэффициентов

Условие

При каких $$a$$ и $$b$$ система $\begin{cases} 6x + ay = 4, \\ 9x - 3y = b \end{cases}$ имеет бесконечно много решений?

Решение

Решений бесконечно много, если все три отношения коэффициентов равны:

\dfrac{6}{9} = \dfrac{a}{-3} = \dfrac{4}{b}.

$\dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$ . Из $\dfrac{a}{-3} = \dfrac{2}{3}$ получаем $$a = -2$$ , из $\dfrac{4}{b} = \dfrac{2}{3}$ — $$b = 6$$ .

Проверка: первое уравнение $$6x - 2y = 4$$ , умноженное на $$1{,}5$$ , даёт $$9x - 3y = 6$$ — второе уравнение.

Ответ: a = −2, b = 6

Типичные ошибки

Сравнивают коэффициенты при x, не выразив y

Почему неверно

В системе $$2x + y = 3$$ , $$y - 2x = 1$$ «двойка при $$x$$ » есть в обоих уравнениях, и ученик решает, что прямые параллельны. Но угловой коэффициент — это число при $$x$$ в записи $$y = kx + b$$ , а не в исходном уравнении.

Как правильно

Выразите $$y$$ и получите $$y = -2x + 3$$ и $$y = 2x + 1$$ . Коэффициенты $$-2$$ и $$2$$ разные, прямые пересекаются, решение одно.

Видят равные k и сразу пишут «решений нет»

Почему неверно

Равенство угловых коэффициентов означает только одинаковый наклон. Прямые при этом могут совпасть, и тогда решений бесконечно много.

Как правильно

При $$k_1 = k_2$$ обязательно сравните $$b_1$$ и $$b_2$$ . Например, $$y = 3x - 2$$ и $$2y = 6x - 4$$ : после деления второго на 2 видно, что это одна прямая.

Теряют вертикальную прямую

Почему неверно

Уравнение вроде $$0{,}5x - 2 = 1$$ не содержит $$y$$ , и его пытаются «выразить через $$x$$ » или считают, что у системы нет решений.

Как правильно

Такое уравнение задаёт прямую $$x = 6$$ , параллельную оси $$y$$ . Она пересекает любую невертикальную прямую в одной точке, поэтому решение одно.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Сколько решений имеет система $\begin{cases} y = 3x - 1, \\ y = 3x + 4? \end{cases}$

Подсказка

Сравните угловые коэффициенты, а потом — свободные члены.

Решение

Угловые коэффициенты равны: $$k_1 = k_2 = 3$$ , а свободные члены разные: $-1 \ne 4$ . Прямые параллельны, общих точек нет, поэтому система решений не имеет.

Ответ

Решений нет

База Задача 2

Сколько решений имеет система $\begin{cases} y = -2x + 5, \\ y = 0{,}5x? \end{cases}$ Если решение одно, найдите его.

Подсказка

Если угловые коэффициенты разные, приравняйте правые части.

Решение

$$k_1 = -2$$ , $k_2 = 0{,}5$ — разные, значит, прямые пересекаются и решение одно. Приравниваем: $$-2x + 5 = 0{,}5x$$ , $$2{,}5x = 5$$ , $$x = 2$$ ; тогда $y = 0{,}5 \cdot 2 = 1$ .

Ответ

Одно решение (2; 1)

Средний Задача 3

Сколько решений имеет система $\begin{cases} 4x - 6y = 10, \\ 6x - 9y = 15? \end{cases}$ Укажите два любых решения.

Подсказка

Выразите $$y$$ через $$x$$ в каждом уравнении.

Решение

Из первого уравнения $$6y = 4x - 10$$ , $y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}$ . Из второго $$9y = 6x - 15$$ , $y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{5}{3}$ . Уравнения задают одну и ту же прямую, решений бесконечно много — это все решения уравнения $$2x - 3y = 5$$ . Например, $$x = 1$$ , $$y = -1$$ и $$x = 4$$ , $$y = 1$$ .

Ответ

Бесконечно много; например, (1; −1) и (4; 1)

Средний Задача 4

При каком значении $$a$$ система $\begin{cases} y = ax + 2, \\ y = 5x - 1 \end{cases}$ не имеет решений?

Подсказка

Прямые должны быть параллельны.

Решение

Решений нет, когда прямые параллельны: угловые коэффициенты равны, а свободные члены разные. Свободные члены $$2$$ и $$-1$$ уже разные, значит, достаточно $$a = 5$$ .

Ответ

a = 5

Сложный Задача 5

При каких $$a$$ и $$b$$ система $\begin{cases} 2x - 3y = 4, \\ ax + 6y = b \end{cases}$ имеет бесконечно много решений?

Подсказка

Второе уравнение должно получаться из первого умножением на одно и то же число.

Решение

Коэффициент при $$y$$ во втором уравнении $6 = -3 \cdot (-2)$ . Значит, второе уравнение должно быть первым, умноженным на $$-2$$ , то есть $$-4x + 6y = -8$$ . Отсюда $$a = -4$$ , $$b = -8$$ .

Ответ

a = −4, b = −8

Сложный Задача 6

Дана система $\begin{cases} x + 2y = 3, \\ 2x + 4y = c. \end{cases}$ При каком $$c$$ она имеет бесконечно много решений, а при каких — ни одного?

Подсказка

Умножьте первое уравнение на 2 и сравните со вторым.

Решение

Умножив первое уравнение на 2, получим $$2x + 4y = 6$$ . Левые части уравнений совпали. Если $$c = 6$$ , уравнения одинаковые — решений бесконечно много. Если $c \ne 6$ , одно и то же выражение $$2x + 4y$$ должно равняться двум разным числам — так не бывает, решений нет (прямые параллельны).

Ответ

Бесконечно много при c = 6; нет решений при c ≠ 6

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол две палочки или два карандаша. Покажите три положения: крест-накрест (одна общая точка), рядом параллельно (ни одной), один поверх другого (общие все точки). Затем скажите: уравнение $$y = kx + b$$ — это «палочка», $$k$$ — её наклон. Разный наклон — палочки обязательно пересекутся.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у системы двух линейных уравнений не бывает ровно двух решений? 2) Что нужно сравнить, если угловые коэффициенты оказались равны? 3) Сколько решений у системы $$y = x + 1$$ , $$y = -x + 1$$ ?

На что обратить внимание. Ребёнок должен сначала приводить уравнения к виду $$y = kx + b$$ и только потом сравнивать числа. Частая беда — ошибка в знаке при переносе слагаемых, из-за неё меняется $$k$$ и весь ответ.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 29	687, 688, 689, 690, 691, 692, 693, 694, 695