Задача 1
Условие (кратко)
Указать какие-либо значения a, b и c, при которых система −8x + 9y = 10, ax + by = c имеет единственное решение.
Решение
Система имеет единственное решение, если коэффициенты при переменных не пропорциональны: \(\dfrac{a}{-8} \ne \dfrac{b}{9}\). Значение \(c\) может быть любым.
Возьмём, например, \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 0\): \(\dfrac{1}{-8} \ne \dfrac{1}{9}\). Получаем систему
\[\begin{cases} -8x + 9y = 10,\\ x + y = 0. \end{cases}\]
Из второго уравнения \(x = -y\), тогда \(8y + 9y = 10\), \(y = \dfrac{10}{17}\), \(x = -\dfrac{10}{17}\) — решение действительно одно.
Подходят и многие другие тройки: любые \(a\), \(b\) с \(9a + 8b \ne 0\) и любое \(c\).
Ответ
Например, a = 1, b = 1, c = 0 (подходят любые a, b с 9a + 8b ≠ 0 и любое c)
Почему так
Линейная система имеет единственное решение, когда коэффициенты при x и y не пропорциональны.
Подробнее — в теме «Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными».