Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 1015

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать неравенство (x + 1)² ≥ 4x.

Решение

\[(x + 1)^2 - 4x = x^2 + 2x + 1 - 4x = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2.\]

Квадрат любого числа неотрицателен: $(x - 1)^2 \geqslant 0$ . Значит, $(x + 1)^2 \geqslant 4x$ при любом $$x$$ (равенство при $$x = 1$$ ).

Ответ

(x + 1)² − 4x = (x − 1)² ≥ 0, неравенство верно

Почему так

Разность частей свернулась в полный квадрат, а квадрат не бывает отрицательным.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать неравенство (3b + 1)² > 6b.

Решение

\[(3b + 1)^2 - 6b = 9b^2 + 6b + 1 - 6b = 9b^2 + 1.\]

Так как $9b^2 \geqslant 0$ , то $9b^2 + 1 \geqslant 1 > 0$ . Значит, $$(3b + 1)^2 > 6b$$ при любом $$b$$ .

Ответ

(3b + 1)² − 6b = 9b² + 1 > 0, неравенство верно

Почему так

Разность частей равна сумме неотрицательного числа и единицы, поэтому положительна.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Доказать неравенство 4(x + 2) < (x + 3)² − 2x.

Решение

\[(x + 3)^2 - 2x - 4(x + 2) = x^2 + 6x + 9 - 2x - 4x - 8 = x^2 + 1.\]

Разность правой и левой частей $$x^2 + 1 > 0$$ при любом $$x$$ , значит, $$4(x + 2) < (x + 3)^2 - 2x$$ .

Ответ

(x + 3)² − 2x − 4(x + 2) = x² + 1 > 0, неравенство верно

Почему так

Правая часть больше левой, так как их разность x² + 1 положительна.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Доказать неравенство 1 + (m + 2)² > 3(2m − 1).

Решение

\[1 + (m + 2)^2 - 3(2m - 1) = 1 + m^2 + 4m + 4 - 6m + 3 = m^2 - 2m + 8.\]

Выделим полный квадрат: $$m^2 - 2m + 8 = (m - 1)^2 + 7$$ . Так как $(m - 1)^2 \geqslant 0$ , разность не меньше 7, то есть положительна. Неравенство доказано.

Ответ

Разность частей равна (m − 1)² + 7 > 0, неравенство верно

Почему так

После выделения полного квадрата разность — это квадрат плюс положительное число.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-1015/