Коротко о главном
Число \(a\) больше числа \(b\), если разность \(a - b\) положительна, и меньше, если она отрицательна; если разность равна нулю, числа равны. Чтобы сравнить два числа или два выражения, достаточно узнать знак их разности.
Подробное объяснение
Два друга спорят, кто выше. Можно встать спина к спине, а можно измерить, на сколько один выше другого. Если «на сколько» получилось положительным числом — первый выше, если отрицательным — ниже, если нулём — рост одинаковый. Ровно так в алгебре сравнивают любые числа.
Определение через разность
Для любых двух чисел \(a\) и \(b\) верно одно и только одно: \(a = b\), \(a < b\) или \(a > b\). Обыкновенные дроби можно сравнивать, приводя к общему знаменателю, десятичные — по разрядам, отрицательные — по модулю. Но есть один способ, который подходит всегда:
- \(a > b\), если \(a - b\) — положительное число;
- \(a < b\), если \(a - b\) — отрицательное число;
- \(a = b\), если \(a - b = 0\).
Пример: сравним \(\dfrac{3}{7}\) и \(0{,}4\). Разность \(\dfrac{3}{7} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{15 - 14}{35} = \dfrac{1}{35} > 0\), значит, \(\dfrac{3}{7} > 0{,}4\).
На координатной прямой большее число лежит правее. Если \(a - b = c\), то \(a = b + c\): при положительном \(c\) точка \(a\) сдвинута от \(b\) вправо, при отрицательном — влево.
Сравнение выражений
Тот же приём работает и для выражений с буквами. Чтобы понять, какое из выражений больше при любых значениях переменной, составляют разность и упрощают её. Часто буквы полностью сокращаются и остаётся число:
Разность равна \(-1\) при любом \(n\), поэтому \((n + 2)(n + 4) < (n + 3)^2\) всегда. Проверьте: \(4 \cdot 6 = 24 < 25 = 5^2\).
Если же разность зависит от переменной, например равна \(x + 9\), то её знак меняется: при одних \(x\) первое выражение больше, при других — меньше. Чтобы показать, что неравенство верно не всегда, достаточно одного примера, где оно нарушается.
Доказательство неравенств
Доказать неравенство — значит показать, что разность его частей имеет нужный знак при всех допустимых значениях переменных. Главный инструмент — квадрат: он никогда не бывает отрицательным, \(x^2 \geqslant 0\). Поэтому разность стараются свернуть в полный квадрат или в сумму квадрата и положительного числа:
Знак \(\geqslant\) («больше или равно») появляется потому, что квадрат может обратиться в нуль. Если же к квадрату прибавлено положительное число, как в \((a - 3)^2 + 5\), неравенство строгое.
Когда в разности есть дробь, знаменатель надо проверить отдельно: если он положителен (например, \(a > 0\) по условию или \(c^2 + 1\)), знак дроби определяет числитель.
Как решать
- Составь разность левой и правой частей (или двух сравниваемых выражений).
- Упрости её: раскрой скобки, приведи подобные, приведи дроби к общему знаменателю.
- Определи знак результата. Если получилось число — всё ясно. Если выражение — попробуй выделить полный квадрат или разложить на множители, знаки которых известны.
- Сделай вывод по определению: разность больше нуля — первое больше; меньше нуля — первое меньше; \(\geqslant 0\) — нестрогое неравенство.
- Если разность меняет знак, приведи конкретное значение переменной, при котором неравенство неверно.
Разобранные примеры
Сравнение дробей через разность
Какое число больше: \(\dfrac{11}{15}\) или \(\dfrac{8}{11}\)?
Составим разность и приведём к общему знаменателю 165:
\(\dfrac{11}{15} - \dfrac{8}{11} = \dfrac{121}{165} - \dfrac{120}{165} = \dfrac{1}{165}\).
Разность положительна, значит, первое число больше.
Неравенство, верное при любом значении
Докажите, что при любом \(y\) верно неравенство \((y - 1)(y + 5) < (y + 2)^2\).
\((y - 1)(y + 5) - (y + 2)^2 = y^2 + 4y - 5 - (y^2 + 4y + 4) = -9\).
Разность отрицательна при любом \(y\), поэтому неравенство верно.
Выделение квадрата
Докажите, что \(p^2 + 13 > 4p\) при любом \(p\).
Составим разность и выделим полный квадрат:
\(p^2 + 13 - 4p = p^2 - 4p + 4 + 9 = (p - 2)^2 + 9\).
Квадрат \((p - 2)^2 \geqslant 0\), поэтому вся разность не меньше 9, т. е. положительна. Значит, \(p^2 + 13 > 4p\).
Типичные ошибки
Неравенство может выполняться при \(x = 1, 2, 10\) и нарушаться при \(x = -10\). Например, у \(4b(b + 1)\) и \((2b + 7)(2b - 8)\) разность равна \(6b + 56\): при небольших \(b\) первое больше, а при \(b = -10\) — меньше.
Чтобы доказать неравенство для всех значений, упростите разность в общем виде. Примеры с числами годятся только для опровержения: одного контрпримера достаточно.
Если разность свернулась в \((a - b)^2\), ученики пишут «\(> 0\)». Но при \(a = b\) квадрат равен нулю, и строгое неравенство нарушается.
Квадрат — это \(\geqslant 0\). Строгое неравенство получится, только если к квадрату прибавлено положительное число или по условию \(a \ne b\).
В разности \(x^2 + 4x - (x^2 - 4x + 4)\) минус перед скобкой меняет знак у каждого слагаемого. Пишут \(x^2 + 4x - x^2 - 4x + 4\) и получают неверный знак разности, а с ним и неверный вывод.
Сначала возьмите вычитаемое выражение в скобки целиком, потом раскройте их, меняя знаки у всех слагаемых: \(x^2 + 4x - x^2 + 4x - 4 = 8x - 4\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Известно, что \(a - b = -0{,}5\). Какое утверждение верно?
Показать ответ
Ответ: Б) \(a < b\)
Разность \(a - b\) отрицательна, значит, \(a < b\).
-
Чему равна разность \((n + 3)(n - 3) - n^2\) при любом \(n\)?
Показать ответ
Ответ: -9
\((n + 3)(n - 3) - n^2 = n^2 - 9 - n^2 = -9\), поэтому \((n + 3)(n - 3) < n^2\) при любом \(n\).
-
Какие неравенства верны при любом значении \(x\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \(x^2 + 1 > 0\); В) \((x - 3)^2 \geqslant 0\)
Квадрат неотрицателен, поэтому \((x - 3)^2 \geqslant 0\) и \(x^2 + 1 > 0\). Строгое \((x - 3)^2 > 0\) неверно при \(x = 3\), а \(x^2 > x\) неверно, например, при \(x = 0{,}5\).
-
Где на координатной прямой лежит точка \(a\), если \(a - b > 0\)?
Показать ответ
Ответ: Б) Правее точки \(b\)
Разность положительна, значит, \(a > b\), а большее число на координатной прямой лежит правее.
-
Разность левой и правой частей неравенства оказалась равной \((a - 2)^2\). Какое неравенство тогда доказано?
Показать ответ
Ответ: Б) Левая часть ⩾ правой при любом \(a\)
Квадрат \((a - 2)^2\) неотрицателен и равен нулю при \(a = 2\), поэтому доказано нестрогое неравенство «больше или равно».
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Известно, что \(m - n = -2{,}7\). Сравните числа \(m\) и \(n\).
Подсказка
Посмотрите на знак разности.
Решение
Разность \(m - n\) отрицательна, значит, по определению \(m < n\).
Ответ
Сравните дроби \(\dfrac{7}{12}\) и \(\dfrac{5}{9}\), составив их разность.
Подсказка
Приведите дроби к общему знаменателю 36.
Решение
\(\dfrac{7}{12} - \dfrac{5}{9} = \dfrac{21}{36} - \dfrac{20}{36} = \dfrac{1}{36} > 0\). Разность положительна, значит, \(\dfrac{7}{12} > \dfrac{5}{9}\).
Ответ
Докажите, что при любом \(x\) верно неравенство \((x + 4)(x - 2) < (x + 1)^2\).
Подсказка
Раскройте скобки в разности левой и правой частей.
Решение
\((x + 4)(x - 2) - (x + 1)^2 = x^2 + 2x - 8 - x^2 - 2x - 1 = -9\). Разность отрицательна при любом \(x\), значит, неравенство верно.
Ответ
Докажите неравенство \(x^2 + 25 \geqslant 10x\). При каком \(x\) достигается равенство?
Подсказка
Перенесите \(10x\) влево и сверните полный квадрат.
Решение
\(x^2 + 25 - 10x = (x - 5)^2 \geqslant 0\), поэтому \(x^2 + 25 \geqslant 10x\) при любом \(x\). Равенство — когда \((x - 5)^2 = 0\), т. е. при \(x = 5\).
Ответ
Что больше: \(\dfrac{a}{a + 1}\) или \(\dfrac{a + 1}{a + 2}\), если \(a > 0\)?
Подсказка
Приведите разность к общему знаменателю \((a + 1)(a + 2)\).
Решение
\(\dfrac{a}{a + 1} - \dfrac{a + 1}{a + 2} = \dfrac{a(a + 2) - (a + 1)^2}{(a + 1)(a + 2)} = \dfrac{a^2 + 2a - a^2 - 2a - 1}{(a + 1)(a + 2)} = -\dfrac{1}{(a + 1)(a + 2)}\). При \(a > 0\) знаменатель положителен, разность отрицательна. Значит, \(\dfrac{a + 1}{a + 2}\) больше.
Ответ
Докажите, что при любых \(x\) и \(y\) верно неравенство \(x^2 + y^2 + 2 \geqslant 2(x + y)\).
Подсказка
Сгруппируйте слагаемые с \(x\) и слагаемые с \(y\) и выделите два квадрата.
Решение
\(x^2 + y^2 + 2 - 2x - 2y = (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \geqslant 0\). Сумма двух квадратов неотрицательна, значит, неравенство верно; равенство — при \(x = y = 1\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите два карандаша разной длины и спросите: «На сколько один длиннее другого?» Если вычесть из длины первого длину второго и получить плюс — первый длиннее, минус — короче, ноль — одинаковые. В алгебре так сравнивают любые числа и выражения: считают разность и смотрят на её знак. Затем покажите, что квадрат любого числа, хоть отрицательного, не бывает меньше нуля: \((-3)^2 = 9\), \(0^2 = 0\). На этом держатся почти все доказательства неравенств.
Вопросы для проверки понимания: 1) Как узнать, какое из чисел больше, если известна их разность? 2) Почему \((x - 4)^2 + 1 > 0\) при любом \(x\)? 3) Достаточно ли проверить неравенство на трёх числах, чтобы считать его доказанным?
На что обратить внимание. Ребёнок должен раскрывать скобку после минуса аккуратно, а в выводе различать знаки \(>\) и \(\geqslant\). Полезно попросить проверить итог на каком-нибудь числе — это быстро ловит ошибки в знаках.