Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 1017

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать неравенство a² + b² + 2 ≥ 2(a + b).

Решение

\[a^2 + b^2 + 2 - 2(a + b) = (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) = (a - 1)^2 + (b - 1)^2.\]

Сумма квадратов неотрицательна, значит, $a^2 + b^2 + 2 \geqslant 2(a + b)$ при любых $$a$$ и $$b$$ (равенство при $$a = b = 1$$ ).

Ответ

Разность частей равна (a − 1)² + (b − 1)² ≥ 0, неравенство верно

Почему так

Двойку раскладываем как 1 + 1 и получаем сумму двух полных квадратов.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать неравенство a² + b² + c² + 5 > 2(a + b + c).

Решение

\[a^2 + b^2 + c^2 + 5 - 2(a + b + c) = (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 + 2.\]

Сумма квадратов неотрицательна, а с прибавленной двойкой — не меньше 2, то есть положительна. Неравенство доказано.

Ответ

Разность частей равна (a − 1)² + (b − 1)² + (c − 1)² + 2 > 0, неравенство верно

Почему так

Число 5 раскладываем как 1 + 1 + 1 + 2, три единицы уходят в полные квадраты.

Подробнее — в теме «Числовые неравенства».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-1017/