Главная Учебники Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова) Дополнительные упражнения к главе IV Задание 1018
Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова
Задание 1018
Дополнительные упражнения к главе IV
Задача 1
Условие (кратко)
а) Доказать, что при a > 3 значение выражения ((a − 3)/(a + 3) − (a + 3)/(a − 3))·(1 + 3/a) отрицательно.
Решение
Упростим выражение. Разность в скобках:
\[\dfrac{a - 3}{a + 3} - \dfrac{a + 3}{a - 3} = \dfrac{(a - 3)^2 - (a + 3)^2}{(a + 3)(a - 3)} = \dfrac{-12a}{(a + 3)(a - 3)}.\]
Вторая скобка:
\(1 + \dfrac{3}{a} = \dfrac{a + 3}{a}\) . Произведение:
\[\dfrac{-12a}{(a + 3)(a - 3)} \cdot \dfrac{a + 3}{a} = -\dfrac{12}{a - 3}.\]
При
\(a > 3\) знаменатель
\(a - 3 > 0\) , поэтому
\(-\dfrac{12}{a - 3} < 0\) . Что и требовалось доказать.
Ответ
Выражение равно −12/(a − 3), при a > 3 оно отрицательно
Почему так
После упрощения выражение — дробь с отрицательным числителем и положительным при a > 3 знаменателем.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства» .
Задача 2
Условие (кратко)
б) Доказать, что при y > 1 значение выражения (y² + 3)/(y − 1) − 2/y : (1/(y² − y) + (y − 3)/(y² − 1)) положительно.
Решение
Сначала скобка:
\[\dfrac{1}{y(y - 1)} + \dfrac{y - 3}{(y - 1)(y + 1)} = \dfrac{y + 1 + y(y - 3)}{y(y - 1)(y + 1)} = \dfrac{y^2 - 2y + 1}{y(y - 1)(y + 1)} = \dfrac{y - 1}{y(y + 1)}.\]
Деление:
\[\dfrac{2}{y} : \dfrac{y - 1}{y(y + 1)} = \dfrac{2}{y} \cdot \dfrac{y(y + 1)}{y - 1} = \dfrac{2(y + 1)}{y - 1}.\]
Вычитание:
\[\dfrac{y^2 + 3}{y - 1} - \dfrac{2y + 2}{y - 1} = \dfrac{y^2 - 2y + 1}{y - 1} = \dfrac{(y - 1)^2}{y - 1} = y - 1.\]
При
\(y > 1\) значение
\(y - 1 > 0\) . Что и требовалось доказать.
Ответ
Выражение равно y − 1, при y > 1 оно положительно
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-1018/