Задача 1
Условие (кратко)
Когда катер затратит больше времени — пройдя 20 км по течению и 20 км против течения или 40 км в стоячей воде?
Решение
Дано
- путь 20 км по течению и 20 км против течения или 40 км в стоячей воде
Найти
- в каком случае время больше
Пусть \(v\) км/ч — скорость катера в стоячей воде, \(u\) км/ч — скорость течения, \(0 < u < v\). Время по реке и в стоячей воде:
\[t_1 = \dfrac{20}{v + u} + \dfrac{20}{v - u} = \dfrac{40v}{v^2 - u^2}, \qquad t_2 = \dfrac{40}{v}.\]
Разность:
\[t_1 - t_2 = \dfrac{40v}{v^2 - u^2} - \dfrac{40}{v} = \dfrac{40v^2 - 40(v^2 - u^2)}{v(v^2 - u^2)} = \dfrac{40u^2}{v(v^2 - u^2)}.\]
Числитель и знаменатель положительны, значит, \(t_1 > t_2\): по реке туда и обратно катер затратит больше времени.
Ответ
Больше времени уйдёт на 20 км по течению и 20 км против течения
Почему так
Разность времён равна 40u²/(v(v² − u²)) > 0 — течение замедляет на обратном пути сильнее, чем ускоряет на прямом.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».