Задача 1
(Задача-исследование.) Лодка прошла расстояние s по течению и обратно, в другой день — то же по более быстрой реке. В какой день лодка затратила больше времени? Найти t₁ − t₂ и оценить.
Решение
-
Предположение: на быстрой реке лодка потратит больше времени — против течения она идёт медленнее.
-
Дано: \(x\) км/ч — скорость лодки в стоячей воде, \(y\) км/ч и \(z\) км/ч — скорости течения первой и второй рек, \(s\) км — расстояние; вторая река быстрее, \(0 < y < z < x\). Найти: знак \(t_1 - t_2\).
-
Время в первый и во второй день:
\[t_1 = \dfrac{s}{x + y} + \dfrac{s}{x - y} = \dfrac{2sx}{x^2 - y^2}, \qquad t_2 = \dfrac{s}{x + z} + \dfrac{s}{x - z} = \dfrac{2sx}{x^2 - z^2}.\] -
Разность:
\[t_1 - t_2 = 2sx\cdot\dfrac{(x^2 - z^2) - (x^2 - y^2)}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)} = \dfrac{2sx\,(y^2 - z^2)}{(x^2 - y^2)(x^2 - z^2)}.\]Знаменатель положителен, так как \(x > z > y\); \(2sx > 0\); а \(y^2 - z^2 < 0\), так как \(y < z\). Значит, \(t_1 - t_2 < 0\), то есть \(t_2 > t_1\). -
Предположение подтвердилось: больше времени лодка затратила во второй день, на более быстрой реке.
Ответ
Разность t₁ − t₂ = 2sx(y² − z²)/((x² − y²)(x² − z²)) отрицательна, потому что y < z.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».