Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что полупериметр треугольника больше длины каждой из его сторон.
Решение
Пусть стороны треугольника \(a\), \(b\), \(c\), полупериметр \(p = \dfrac{a + b + c}{2}\).
По неравенству треугольника каждая сторона меньше суммы двух других: \(a < b + c\). Прибавим к обеим частям \(a\):
\[2a < a + b + c.\]
Разделим обе части на положительное число 2: \(a < \dfrac{a + b + c}{2} = p\).
Так же из \(b < a + c\) и \(c < a + b\) получаем \(b < p\) и \(c < p\). Что и требовалось доказать.
Ответ
Из a < b + c следует 2a < a + b + c, то есть a < p; так же для b и c
Почему так
Неравенство треугольника и свойства неравенств — прибавление числа и деление на положительное число.
Подробнее — в теме «Свойства числовых неравенств».