Верно ли, что если a < b, то 1/a > 1/b при любых a и b, не равных нулю?

Нет: при a = -2, b = 3 получаем -\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{3}

Только при отрицательных a и b

Свойства числовых неравенств — 8 класс, алгебра: объяснение и примеры

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Числовые неравенства

Коротко о главном

С верными неравенствами можно обращаться почти как с уравнениями: прибавлять к обеим частям одно и то же число и умножать обе части на одно и то же положительное число. Главное исключение — при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

a < b,\ c > 0 \;\Rightarrow\; ac < bc; \qquad a < b,\ c < 0 \;\Rightarrow\; ac > bc

Подробное объяснение

Пример из жизни

Аня выше Бори, а Боря выше Вовы. Кто выше — Аня или Вова? Конечно, Аня, хотя их никто не ставил рядом. А если все трое встанут на одну и ту же скамейку высотой 40 см, Аня всё равно останется выше Бори. Эти очевидные наблюдения и есть свойства неравенств. Математика лишь записывает их точно и доказывает через разность: $$a < b$$ значит, что $$a - b$$ — отрицательное число.

Свойство 1. Неравенство можно «прочитать справа налево»

Если $$a > b$$ , то $$b < a$$ . Это одно и то же утверждение, записанное с другой стороны: «5 больше 3» и «3 меньше 5».

Свойство 2. Транзитивность

Если $$a < b$$ и $$b < c$$ , то $$a < c$$ . На координатной прямой: точка $$a$$ левее $$b$$ , а $$b$$ левее $$c$$ , значит, $$a$$ левее $$c$$ . Доказательство простое: $$a - c = (a - b) + (b - c)$$ — сумма двух отрицательных чисел, а она отрицательна.

Свойство 3. Прибавление числа

Если $$a < b$$ , то $$a + c < b + c$$ при любом $$c$$ . Разность $$(a + c) - (b + c)$$ равна $$a - b$$ и не меняется. Вычитание числа — то же прибавление, только числа с противоположным знаком. Поэтому из $$a < b$$ следует и $$a - 7 < b - 7$$ .

Свойство 4. Умножение и деление

Здесь важен знак множителя:

если $$c > 0$$ , то из $$a < b$$ следует $$ac < bc$$ — знак неравенства сохраняется;
если $$c < 0$$ , то из $$a < b$$ следует $$ac > bc$$ — знак неравенства меняется на противоположный.

Почему так? $$ac - bc = c(a - b)$$ . Скобка отрицательна. При положительном $$c$$ произведение отрицательно, при отрицательном — положительно. Проверьте на числах: $$2 < 5$$ , но $$-2 > -5$$ . Долг в 2 рубля «лучше», чем долг в 5 рублей.

Деление на число — это умножение на обратное ему число того же знака. Поэтому для деления правило то же самое.

Свойство 5. Обратные числа

Если $$a$$ и $$b$$ положительны и $$a < b$$ , то $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ . Пиццу делят на 4 или на 6 человек: чем больше едоков, тем меньше кусок, $\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{6}$ . Чтобы это доказать, делят обе части $$a < b$$ на положительное число $$ab$$ . Свойство верно и для двух отрицательных чисел, но не для чисел разных знаков: $$-2 < 3$$ , и $-\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{3}$ .

Оценка значения выражения

Чаще всего эти свойства нужны, чтобы оценить выражение: по известным границам переменной найти, между какими числами лежит выражение. Двойное неравенство $$3 < x < 4$$ — это два неравенства сразу, $$3 < x$$ и $$x < 4$$ . Все действия выполняют над каждой частью.

Как решать задачи на оценку

Запишите известное двойное неравенство, например $$3 < x < 4$$ .
Разбейте выражение на шаги: сначала умножение, потом прибавление числа. Для $$5 - 2x$$ шаги такие: $x \to -2x \to 5 - 2x$ .
На каждом шаге выполняйте одно и то же действие со всеми тремя частями.
При умножении или делении на отрицательное число переверните оба знака. Потом перепишите неравенство так, чтобы меньшее число стояло слева.
При переходе к обратным величинам убедитесь, что все части положительны (или все отрицательны), и тоже переверните знаки.
Проверьте ответ: левая граница должна быть меньше правой. Подставьте любое число из промежутка — значение выражения должно попасть между границами.

Разобранные примеры

База

Оценка выражения с положительным множителем

Условие

Известно, что $$2 < x < 3$$ . Оцените значение выражения $$4x - 1$$ .

Решение

Умножаем все части на положительное число $$4$$ , знаки сохраняются:

\[8 < 4x < 12.\]

Прибавляем $$-1$$ :

\[7 < 4x - 1 < 11.\]

Ответ: 7 < 4x − 1 < 11

Средний

Оценка выражения с отрицательным множителем

Условие

Известно, что $$-1 < y < 4$$ . Оцените значение выражения $$6 - 2y$$ .

Решение

Умножаем на $$-2$$ и меняем знаки:

2 > -2y > -8, \quad\text{то есть}\quad -8 < -2y < 2.

Прибавляем $$6$$ :

\[-2 < 6 - 2y < 8.\]

Проверка: при $$y = 0$$ получаем $$6$$ , это число лежит между $$-2$$ и $$8$$ .

Ответ: −2 < 6 − 2y < 8

Сложный

Оценка дроби

Условие

Известно, что $$3 < x < 7$$ . Оцените значение выражения $\dfrac{1}{x + 1}$ .

Решение

Прибавляем $$1$$ :

\[4 < x + 1 < 8.\]

Все части положительны, поэтому для обратных чисел знаки меняются:

\dfrac{1}{4} > \dfrac{1}{x + 1} > \dfrac{1}{8}, \quad\text{то есть}\quad \dfrac{1}{8} < \dfrac{1}{x + 1} < \dfrac{1}{4}.

Ответ: 1/8 < 1/(x + 1) < 1/4

Типичные ошибки

Не меняют знак при умножении на отрицательное число

Почему неверно

Из $$2 < x < 5$$ пишут $$-4 < -2x < -10$$ . Но $$-4 > -10$$ , так что запись противоречит сама себе. При умножении на отрицательное число большее число становится меньшим.

Как правильно

Сначала $$-4 > -2x > -10$$ , затем переписываем в порядке возрастания: $$-10 < -2x < -4$$ .

Оценивают разность, вычитая границы «в лоб»

Почему неверно

Для $$3 < a < 4$$ пишут $$5 - 3 < 5 - a < 5 - 4$$ , то есть $$2 < 5 - a < 1$$ . Так не бывает: число не может быть больше 2 и одновременно меньше 1. Ошибка в том, что вычитание переменной — это умножение на $$-1$$ , и знаки нужно перевернуть.

Как правильно

$$-4 < -a < -3$$ , затем прибавляем 5: $$1 < 5 - a < 2$$ .

Переходят к обратным числам, не глядя на знаки

Почему неверно

Из $$-2 < 3$$ делают вывод $-\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{3}$ . Это неверно: отрицательное число меньше положительного. Свойство обратных чисел работает только для чисел одного знака.

Как правильно

Перед переходом к $\dfrac{1}{x}$ проверьте, что все части неравенства положительны (или все отрицательны). Если промежуток содержит ноль, такая оценка невозможна.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Известно, что $$m < n$$ . Сравните числа $$m - 7$$ и $$n - 7$$ .

Подсказка

Вычесть 7 — то же, что прибавить к обеим частям число $$-7$$ .

Решение

Прибавим к обеим частям верного неравенства $$m < n$$ одно и то же число $$-7$$ . Знак неравенства при этом не меняется:

\[m - 7 < n - 7.\]

Ответ

m − 7 < n − 7

База Задача 2

Оцените значение выражения $$3a$$ , если $$1{,}2 < a < 1{,}5$$ .

Подсказка

Умножьте на 3 обе части двойного неравенства. Число 3 положительное.

Решение

Умножаем все части двойного неравенства на положительное число $$3$$ , знаки сохраняются:

1{,}2 \cdot 3 < 3a < 1{,}5 \cdot 3, \qquad 3{,}6 < 3a < 4{,}5.

Ответ

3,6 < 3a < 4,5

Средний Задача 3

Оцените значение выражения $$10 - 4b$$ , если $$0{,}5 < b < 2$$ .

Подсказка

Сначала оцените $$-4b$$ — при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются.

Решение

Умножим на $$-4$$ и поменяем знаки неравенства:

-2 > -4b > -8, \quad\text{то есть}\quad -8 < -4b < -2.

Прибавим $$10$$ ко всем частям:

\[2 < 10 - 4b < 8.\]

Ответ

2 < 10 − 4b < 8

Средний Задача 4

Сторона правильного шестиугольника равна $$a$$ см, причём $$2{,}4 < a < 2{,}5$$ . Оцените его периметр.

Подсказка

У правильного шестиугольника шесть равных сторон, $$P = 6a$$ .

Решение

$$P = 6a$$ . Умножаем двойное неравенство на положительное число $$6$$ :

2{,}4 \cdot 6 < 6a < 2{,}5 \cdot 6, \qquad 14{,}4 < P < 15.

Периметр больше 14,4 см, но меньше 15 см.

Ответ

14,4 см < P < 15 см

Сложный Задача 5

Оцените значение выражения $\dfrac{12}{x}$ , если $$3 < x < 4$$ .

Подсказка

Сначала оцените $\dfrac{1}{x}$ — для положительных чисел при переходе к обратным знаки меняются.

Решение

Все части неравенства положительны, поэтому для обратных чисел знаки меняются:

\dfrac{1}{3} > \dfrac{1}{x} > \dfrac{1}{4}, \quad\text{то есть}\quad \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{3}.

Умножаем на положительное число $$12$$ :

3 < \dfrac{12}{x} < 4.

Ответ

3 < 12/x < 4

Сложный Задача 6

Известно, что $$0 < a < b$$ . Какое из чисел больше — $-\dfrac{1}{a}$ или $-\dfrac{1}{b}$ ?

Подсказка

Сначала сравните $\dfrac{1}{a}$ и $\dfrac{1}{b}$ , потом умножьте на $$-1$$ .

Решение

Числа $$a$$ и $$b$$ положительны и $$a < b$$ , поэтому $\dfrac{1}{a} > \dfrac{1}{b}$ .

Умножим обе части на $$-1$$ и поменяем знак неравенства:

-\dfrac{1}{a} < -\dfrac{1}{b}.

Например, при $$a = 2$$ , $$b = 5$$ : $$-0{,}5 < -0{,}2$$ .

Ответ

Больше −1/b

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите две стопки монет: в одной 3, в другой 5. Добавьте в обе по 2 монеты — вторая стопка всё равно выше. Удвойте обе — тоже. Теперь представьте, что монеты — это долги: долг 3 рубля меньше долга 5 рублей, значит, $$-3 > -5$$ . Так ребёнок увидит, почему при умножении на минус знак переворачивается. Для обратных чисел подойдёт пицца на 4 и на 6 человек.

Вопросы для проверки понимания: 1) Известно, что $$a < b$$ . Верно ли, что $$-5a < -5b$$ ? 2) Если $$x < y$$ и $$y < 0$$ , какого знака $$x$$ ? 3) Почему из $$2 < 5$$ следует $\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{5}$ , а из $$-2 < 5$$ не следует $-\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{5}$ ?

На что обратить внимание. В двойном неравенстве после всех действий меньшее число должно стоять слева. Если получилось наоборот, ребёнок забыл перевернуть знаки. Полезная привычка — проверять оценку подстановкой одного числа из промежутка.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 35	860, 861, 862, 863, 864, 865, 866, 867, 868, 869, 870, 871, 872, 873, 874, 875, 876, 877, 878, 879, 880