Задача 1
Условие (кратко)
Сравнить площадь квадрата с площадью произвольного прямоугольника, имеющего тот же периметр.
Решение
Пусть периметр равен \(P\). Сторона квадрата \(\dfrac{P}{4}\), его площадь \(\dfrac{P^2}{16}\).
Сумма соседних сторон прямоугольника равна \(\dfrac{P}{2}\), поэтому их можно записать как \(\dfrac{P}{4} + t\) и \(\dfrac{P}{4} - t\), где \(t \geqslant 0\). Площадь прямоугольника:
\[\left(\dfrac{P}{4} + t\right)\left(\dfrac{P}{4} - t\right) = \dfrac{P^2}{16} - t^2.\]
Разность площадей квадрата и прямоугольника равна \(t^2 \geqslant 0\); она равна нулю только при \(t = 0\), когда прямоугольник сам является квадратом.
Ответ
Площадь квадрата больше площади любого другого прямоугольника с тем же периметром
Почему так
Разность площадей равна квадрату полуразности сторон прямоугольника, поэтому неотрицательна.
Подробнее — в теме «Числовые неравенства».