Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 1024

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выделив квадрат двучлена, доказать неравенство a² + ab + b² ≥ 0.

Решение

a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2\cdot a\cdot\dfrac{b}{2} + \dfrac{b^2}{4} + \dfrac{3b^2}{4} = \left(a + \dfrac{b}{2}\right)^2 + \dfrac{3b^2}{4}.

Оба слагаемых неотрицательны, значит, $a^2 + ab + b^2 \geqslant 0$ (равенство только при $$a = b = 0$$ ).

Ответ

a² + ab + b² = (a + b/2)² + 3b²/4 ≥ 0

Почему так

Трёхчлен представлен суммой квадрата двучлена и неотрицательного слагаемого.

Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Выделив квадрат двучлена, доказать неравенство a² − ab + b² ≥ 0.

Решение

a^2 - ab + b^2 = a^2 - 2\cdot a\cdot\dfrac{b}{2} + \dfrac{b^2}{4} + \dfrac{3b^2}{4} = \left(a - \dfrac{b}{2}\right)^2 + \dfrac{3b^2}{4}.

Оба слагаемых неотрицательны, значит, $a^2 - ab + b^2 \geqslant 0$ (равенство только при $$a = b = 0$$ ).

Ответ

a² − ab + b² = (a − b/2)² + 3b²/4 ≥ 0

Почему так

Трёхчлен представлен суммой квадрата двучлена и неотрицательного слагаемого.

Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-1024/