Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Чтобы доказать неравенство \(A \geqslant B\), обычно составляют разность \(A - B\) и показывают, что она не меньше нуля при всех допустимых значениях переменных. Помогают полные квадраты и неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.
Подробное объяснение
Представьте, что у вас 40 метров сетки и нужно огородить прямоугольный загон для кроликов. Какой формы сделать загон, чтобы кроликам было просторнее? Можно перебрать варианты: \(5 \times 15\) м — площадь 75 м², \(8 \times 12\) — 96 м², \(10 \times 10\) — 100 м². Похоже, квадрат лучше всех. Но перебор ничего не доказывает: вдруг какой-то хитрый прямоугольник обгонит квадрат? Чтобы быть уверенным, нужно доказательство неравенства.
Метод разности
Неравенство \(A > B\) по определению означает, что разность \(A - B\) положительна, а \(A \geqslant B\) — что разность неотрицательна. Поэтому главный приём такой: перенести всё в одну часть, упростить разность и показать, что её знак не меняется.
Самый надёжный «кирпичик» — квадрат: \((\ldots)^2 \geqslant 0\) при любых значениях. Если разность удалось записать как сумму квадратов (плюс, может быть, положительное число), неравенство доказано.
Выделение полного квадрата
Выражение вида \(x^2 - 2kx\) дополняют до квадрата разности: \(x^2 - 2kx = (x - k)^2 - k^2\). Например,
Отсюда сразу видно, что выражение всегда не меньше 4, а значение 4 оно принимает при \(x = 4\). Так же находят наименьшее значение квадратного трёхчлена.
Среднее арифметическое и среднее геометрическое
Для неотрицательных чисел \(a\) и \(b\) среднее арифметическое не меньше среднего геометрического:
Доказывается это тем же методом разности: \(\dfrac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \dfrac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} \geqslant 0\). Равенство — только при \(a = b\).
Вернёмся к загону. Если стороны \(a\) и \(b\), то \(a + b = 20\), и \(\sqrt{ab} \leqslant \dfrac{a + b}{2} = 10\), то есть площадь \(ab \leqslant 100\). Больше 100 м² не получится ни при какой форме, а 100 м² даёт квадрат \(10 \times 10\).
Сумма числа и обратного ему
Важный частный случай: если \(a > 0\), то \(a + \dfrac{1}{a} \geqslant 2\). Проверьте разностью: \(a + \dfrac{1}{a} - 2 = \dfrac{a^2 - 2a + 1}{a} = \dfrac{(a - 1)^2}{a} \geqslant 0\). Условие \(a > 0\) здесь обязательно: при \(a = -1\) сумма равна \(-2\).
Другие приёмы
Иногда неравенство получают из уже известных: складывают или перемножают верные неравенства (перемножать можно только неравенства с положительными частями). Иногда помогает «очевидное» сравнение: если знаменатель дроби увеличить, дробь уменьшится.
Как решать
- Выпишите условия на переменные (\(a > 0\), \(x \geqslant 1\) и т. п.).
- Составьте разность левой и правой частей.
- Упростите её: приведите к общему знаменателю, раскройте скобки, разложите на множители.
- Выделите полные квадраты или найдите множители, знак которых известен.
- Сделайте вывод о знаке разности и, значит, о неравенстве; укажите, когда достигается равенство.
- Если в выражении есть сумма положительных величин с постоянным произведением, попробуйте неравенство \(p + q \geqslant 2\sqrt{pq}\).
Разобранные примеры
Сумма квадратов плюс число
Докажите, что \(x^2 + 13 > 6x\) при любом \(x\).
Составим разность: \(x^2 + 13 - 6x = (x^2 - 6x + 9) + 4 = (x - 3)^2 + 4\).
Квадрат неотрицателен, а прибавленное число 4 положительно, поэтому разность больше нуля при любом \(x\).
Наименьшее значение трёхчлена
Найдите наименьшее значение выражения \(2x^2 - 8x + 11\).
Вынесем 2 за скобки у первых двух слагаемых и выделим квадрат:
Так как \(2(x - 2)^2 \geqslant 0\), выражение не меньше 3, а при \(x = 2\) оно равно 3.
Неравенство с дробями
Докажите, что при \(a > 0\) и \(b > 0\) верно \((a + 4b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \geqslant 9\).
Раскроем скобки:
Слагаемые в скобке положительны, их произведение равно 4. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{4b}{a} \geqslant 2\sqrt{4} = 4\). Значит, всё выражение не меньше \(5 + 4 = 9\). Равенство — при \(a = 2b\).
Типичные ошибки
Неравенство с переменными должно выполняться при всех допустимых значениях, а их бесконечно много. Например, \(a^2 \geqslant a\) верно при \(a = 2\), \(a = 5\), \(a = -3\), но неверно при \(a = 0{,}5\).
Подстановка годится только для того, чтобы опровергнуть неравенство (найти контрпример). Для доказательства нужно преобразовать разность в общем виде и показать её знак.
Обе оценки выведены для положительных чисел. При \(a = -2\) сумма \(a + \dfrac{1}{a} = -2{,}5\) меньше 2, а \(\sqrt{ab}\) при разных знаках \(a\) и \(b\) вообще не имеет смысла.
Перед применением проверьте условие: все числа, к которым применяется неравенство, должны быть положительными (для среднего геометрического — неотрицательными). Если условие не дано, рассуждайте методом разности.
Пишут \(x^2 - 6x + 14 = (x - 3)^2 + 14\), но \((x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9\) — число 9 появилось «из ниоткуда», и наименьшее значение получается 14 вместо 5.
Добавили — вычтите: \(x^2 - 6x + 14 = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 14 = (x - 3)^2 + 5\). Полезно раскрыть результат обратно и сравнить с исходным выражением.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Что нужно показать, чтобы доказать неравенство \(A \geqslant B\) методом разности?
Показать ответ
Ответ: Б) Что разность A − B неотрицательна при всех допустимых значениях
По определению \(A \geqslant B\) означает, что \(A - B \geqslant 0\). Проверка на нескольких числах ничего не доказывает, а сравнение квадратов годится только для неотрицательных частей.
-
Какие неравенства верны при любом значении \(a\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) \((a - 3)^2 \geqslant 0\); В) \(a^2 + 4 \geqslant 4a\)
\(a^2 + 4 - 4a = (a - 2)^2 \geqslant 0\). А \(a^2 + 1 - 2a = (a - 1)^2\) равно нулю при \(a = 1\), так что строгое неравенство неверно; \(a^2 \geqslant a\) нарушается, например, при \(a = 0{,}5\).
-
Найдите наименьшее значение выражения \(x + \dfrac{16}{x}\) при \(x > 0\).
Показать ответ
Ответ: 8
\(x + \dfrac{16}{x} \geqslant 2\sqrt{16} = 8\), равенство при \(x = 4\).
-
Чему равно среднее геометрическое чисел 4 и 9?
Показать ответ
Ответ: Б) 6
Среднее геометрическое — \(\sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6\). Число 6,5 — это среднее арифметическое, и оно, как и положено, больше 6.
-
Найдите наименьшее значение выражения \(x^2 + 10x + 30\).
Показать ответ
Ответ: 5
\(x^2 + 10x + 30 = (x + 5)^2 + 5 \geqslant 5\), равенство при \(x = -5\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Докажите, что \(a^2 + 9 \geqslant 6a\) при любом \(a\).
Подсказка
Перенесите \(6a\) влево и узнайте в разности квадрат разности.
Решение
Разность частей: \(a^2 + 9 - 6a = a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2 \geqslant 0\). Значит, \(a^2 + 9 \geqslant 6a\) при любом \(a\); равенство — при \(a = 3\).
Ответ
Найдите наименьшее значение выражения \(x^2 - 6x + 14\).
Подсказка
Выделите полный квадрат: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\).
Решение
\(x^2 - 6x + 14 = (x^2 - 6x + 9) + 5 = (x - 3)^2 + 5\). Квадрат не меньше нуля, поэтому выражение не меньше 5, а при \(x = 3\) оно равно ровно 5.
Ответ
Докажите, что при \(a > 0\) и \(b > 0\) верно неравенство \((a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) \geqslant 4\).
Подсказка
Раскройте скобки и найдите пару взаимно обратных чисел.
Решение
Раскроем скобки: \((a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) = 1 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + 1 = 2 + \left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\right)\). Числа \(\dfrac{a}{b}\) и \(\dfrac{b}{a}\) положительны и взаимно обратны, поэтому их сумма не меньше 2. Значит, всё выражение не меньше \(2 + 2 = 4\).
Ответ
Найдите наименьшее значение выражения \(x + \dfrac{9}{x}\) при \(x > 0\).
Подсказка
Примените неравенство \(p + q \geqslant 2\sqrt{pq}\) к положительным числам \(x\) и \(\dfrac{9}{x}\).
Решение
При \(x > 0\) оба слагаемых положительны, поэтому \(x + \dfrac{9}{x} \geqslant 2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 6\). Равенство достигается, когда слагаемые равны: \(x = \dfrac{9}{x}\), \(x = 3\). Проверка: \(3 + 3 = 6\).
Ответ
Докажите, что \(a^2 + b^2 + c^2 \geqslant ab + bc + ca\) при любых \(a\), \(b\), \(c\).
Подсказка
Умножьте разность на 2 и разбейте её на три квадрата разностей.
Решение
Удвоенная разность частей: \(2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \geqslant 0\). Значит, и сама разность неотрицательна, неравенство доказано (равенство — при \(a = b = c\)).
Ответ
Прямоугольный огород площадью 400 м² нужно обнести забором. Какой наименьшей длины может быть забор?
Подсказка
Периметр равен \(2(a + b)\), а \(ab = 400\). Оцените \(a + b\) через среднее геометрическое.
Решение
Пусть стороны огорода \(a\) и \(b\) м, \(ab = 400\). Тогда \(a + b \geqslant 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{400} = 40\), и периметр \(P = 2(a + b) \geqslant 80\) м. Равенство — при \(a = b = 20\) м, то есть для квадрата: \(P = 4 \cdot 20 = 80\) м.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите верёвку длиной 40 см и попросите ребёнка выложить из неё разные прямоугольники, считая площадь по клеткам тетради. Пусть заметит, что квадрат даёт наибольшую площадь. Затем покажите, что «заметить» — не значит «доказать», и докажите это через неравенство \(\sqrt{ab} \leqslant \dfrac{a + b}{2}\). Главная мысль темы: чтобы сравнить два выражения, вычтите одно из другого и выясните знак разности.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему проверка на нескольких числах не доказывает неравенство? 2) Каково наименьшее значение выражения \((x - 1)^2 + 7\) и при каком \(x\)? 3) Верно ли, что \(a + \dfrac{1}{a} \geqslant 2\) при любом \(a \ne 0\)?
На что обратить внимание. Ребёнок должен записывать условия на переменные и проверять их перед применением готовых неравенств. Хорошая привычка — в конце указать, когда достигается равенство: это заодно проверка, что выкладки верны.