Главная Учебники Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова) Дополнительные упражнения к главе IV Задание 1025
Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова
Задание 1025
Дополнительные упражнения к главе IV
Задача 1
Условие (кратко)
а) Доказать, что при a > 0 и b > 0 верно (a + b)(1/a + 1/b) ≥ 4.
Решение
Раскроем скобки: \((a + b)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) = 1 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} + 1\) . Разность с числом 4:
\[\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2 = \dfrac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \dfrac{(a - b)^2}{ab}.\]
При
\(a > 0\) ,
\(b > 0\) знаменатель положителен, числитель неотрицателен, значит, разность
\(\geqslant 0\) . Неравенство доказано (равенство при
\(a = b\) ).
Ответ
Разность равна (a − b)²/(ab) ≥ 0 при a > 0, b > 0, неравенство верно
Задача 2
Условие (кратко)
б) Доказать, что при a > 0 и b > 0 верно a/b² + b/a² ≥ 1/a + 1/b.
Решение
Приведём разность к общему знаменателю \(a^2b^2\) :
\[\dfrac{a}{b^2} + \dfrac{b}{a^2} - \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{a^3 + b^3 - ab^2 - a^2b}{a^2b^2}.\]
Разложим числитель:
\(a^3 - a^2b + b^3 - ab^2 = a^2(a - b) - b^2(a - b) = (a - b)(a^2 - b^2) = (a - b)^2(a + b)\) . Получаем
\[\dfrac{(a - b)^2(a + b)}{a^2b^2} \geqslant 0,\]
так как
\((a - b)^2 \geqslant 0\) ,
\(a + b > 0\) ,
\(a^2b^2 > 0\) . Неравенство доказано.
Ответ
Разность равна (a − b)²(a + b)/(a²b²) ≥ 0 при a > 0, b > 0, неравенство верно
Почему так
Числитель разности раскладывается на множители (a − b)²(a + b), каждый из которых неотрицателен.
Подробнее — в теме «Доказательство неравенств» .
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-1025/