Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 1026

Задача 1

Условие (кратко)

а) Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, доказать, что при a, b, c > 0 верно ac + b/c ≥ 2√(ab).

Решение

Для положительных чисел $$x$$ и $$y$$ верно $\dfrac{x + y}{2} \geqslant \sqrt{xy}$ , то есть $x + y \geqslant 2\sqrt{xy}$ .

Возьмём $$x = ac > 0$$ , $y = \dfrac{b}{c} > 0$ :

ac + \dfrac{b}{c} \geqslant 2\sqrt{ac \cdot \dfrac{b}{c}} = 2\sqrt{ab}.

Неравенство доказано.

Ответ

По неравенству x + y ≥ 2√(xy) при x = ac, y = b/c получаем ac + b/c ≥ 2√(ab)

Почему так

Сумма двух положительных чисел не меньше удвоенного среднего геометрического, а произведение ac·(b/c) равно ab.

Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, доказать, что при a, b, c > 0 верно (1 + a²/(bc))(1 + b²/(ac))(1 + c²/(ab)) ≥ 8.

Решение

По неравенству $1 + x \geqslant 2\sqrt{x}$ для $$x > 0$$ :

1 + \dfrac{a^2}{bc} \geqslant \dfrac{2a}{\sqrt{bc}}, \quad 1 + \dfrac{b^2}{ac} \geqslant \dfrac{2b}{\sqrt{ac}}, \quad 1 + \dfrac{c^2}{ab} \geqslant \dfrac{2c}{\sqrt{ab}}.

Все части этих неравенств положительны, поэтому их можно перемножить:

\left(1 + \dfrac{a^2}{bc}\right)\left(1 + \dfrac{b^2}{ac}\right)\left(1 + \dfrac{c^2}{ab}\right) \geqslant \dfrac{8abc}{\sqrt{bc}\cdot\sqrt{ac}\cdot\sqrt{ab}} = \dfrac{8abc}{\sqrt{a^2b^2c^2}} = \dfrac{8abc}{abc} = 8.

Неравенство доказано.

Ответ

Каждая скобка не меньше 2a/√(bc), 2b/√(ac), 2c/√(ab); перемножив, получаем не меньше 8

Почему так

Неравенство 1 + x ≥ 2√x применяют к каждому множителю, затем перемножают неравенства с положительными частями.

Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-1026/