Задача 1
Условие (кратко)
Старинная задача (из «Начал» Евклида). Доказать, что если a — наибольшее из положительных чисел пропорции a/b = c/d, то a + d > b + c.
Решение
Обозначим \(k = \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), тогда \(a = kb\), \(c = kd\).
Так как \(a\) — наибольшее число, \(a > b\), то есть \(k = \dfrac{a}{b} > 1\). Кроме того, \(a > c\), то есть \(kb > kd\), и так как \(k > 0\), то \(b > d\).
Составим разность:
\[(a + d) - (b + c) = kb + d - b - kd = b(k - 1) - d(k - 1) = (k - 1)(b - d).\]
Оба множителя положительны: \(k - 1 > 0\) и \(b - d > 0\). Значит, разность положительна и \(a + d > b + c\).
Ответ
(a + d) − (b + c) = (k − 1)(b − d) > 0, где k = a/b > 1 и b > d
Почему так
Через общее значение отношений k разность сводится к произведению двух положительных множителей.
Подробнее — в теме «Доказательство неравенств».