Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 1053

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему: 0,3x − 1 < x + 0,4; 2 − 3x < 5x + 1.

Решение

Первое неравенство:

0{,}3x - x < 0{,}4 + 1, \quad -0{,}7x < 1{,}4, \quad x > -2.

Второе:

-3x - 5x < 1 - 2, \quad -8x < -1, \quad x > \frac{1}{8}.

Общая часть промежутков

(-2;\ +\infty)

\left(\dfrac{1}{8};\ +\infty\right)

— это

\left(\dfrac{1}{8};\ +\infty\right)

Ответ

(1/8; +∞)

Почему так

Решение системы — пересечение множеств решений каждого неравенства.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему: 2,5x − 0,12 > 0,6x + 0,07; 1 − 2x > −x − 4.

Решение

Первое неравенство:

2{,}5x - 0{,}6x > 0{,}07 + 0{,}12, \quad 1{,}9x > 0{,}19, \quad x > 0{,}1.

Второе:

-2x + x > -4 - 1, \quad -x > -5, \quad x < 5.

Пересечение:

\(0{,}1 < x < 5\)

Ответ

(0,1; 5)

Почему так

Решение системы — пересечение множеств решений каждого неравенства.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Решить систему: 2x + 1,4 < (3x − 7)/5; 2x > 3 − 2x/5.

Решение

Первое неравенство умножим на 5:

10x + 7 < 3x - 7, \quad 7x < -14, \quad x < -2.

Второе умножим на 5:

10x > 15 - 2x, \quad 12x > 15, \quad x > 1{,}25.

Промежутки

(-\infty;\ -2)

(1{,}25;\ +\infty)

не имеют общих точек.

Ответ

Решений нет

Почему так

Если множества решений неравенств не пересекаются, система решений не имеет.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Решить систему: 3(x − 2)(x + 2) − 3x² < x; 5x − 4 > 4 − 5x.

Решение

Первое неравенство: $$(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$$ , поэтому

3x^2 - 12 - 3x^2 < x, \quad -12 < x, \quad x > -12.

Второе:

5x + 5x > 4 + 4, \quad 10x > 8, \quad x > 0{,}8.

Пересечение промежутков

(-12;\ +\infty)

(0{,}8;\ +\infty)

—

(0{,}8;\ +\infty)

Ответ

(0,8; +∞)

Почему так

После раскрытия скобок квадраты сокращаются, и неравенства становятся линейными; ответ — пересечение решений.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Решить систему: (x − 4)(5x − 1) − 5x² > x + 1; 3x − 0,4 < 2x − 0,6.

Решение

Первое неравенство: $$(x - 4)(5x - 1) = 5x^2 - 21x + 4$$ , поэтому

5x^2 - 21x + 4 - 5x^2 > x + 1, \quad -22x > -3, \quad x < \frac{3}{22}.

Второе:

3x - 2x < -0{,}6 + 0{,}4, \quad x < -0{,}2.

Так как

-0{,}2 < \dfrac{3}{22}

, пересечение —

(-\infty;\ -0{,}2)

Ответ

(−∞; −0,2)

Почему так

Решение системы — пересечение промежутков; из двух условий «x меньше» остаётся более сильное.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Решить систему: 1 + (1 + x)/3 > (2x − 1)/6 − 2; 3x − x/4 > 4.

Решение

Первое неравенство умножим на 6:

6 + 2(1 + x) > 2x - 1 - 12, \quad 8 + 2x > 2x - 13, \quad 8 > -13.

Это верно при любом

\(x\)

Второе умножим на 4:

12x - x > 16, \quad 11x > 16, \quad x > \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11}.

Решение системы —

\left(1\dfrac{5}{11};\ +\infty\right)

Ответ

(1 5/11; +∞)

Почему так

Первое неравенство выполняется при всех x, поэтому решение системы совпадает с решением второго.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-1053/