Что можно сказать о системе x < 1, x > 4?

Она не имеет решений

Её решение — интервал (1; 4)

Её решение — любое число

Её решение — объединение двух лучей

Системы неравенств с одной переменной

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Решение неравенств с одной переменной

Коротко о главном

Решение системы неравенств — значение переменной, при котором верно каждое неравенство системы. Решают каждое неравенство отдельно и берут общую часть (пересечение) полученных промежутков. Двойное неравенство $$a < x < b$$ — та же система, записанная в одну строку.

\begin{cases} x \geqslant -1, \\ x < 3 \end{cases} \iff -1 \leqslant x < 3

Подробное объяснение

Вы выбираете куртку: она должна стоить не меньше 2000 рублей (дешевле — плохое качество) и меньше 5000 рублей (дороже — не по карману). Подходит только та, что удовлетворяет обоим условиям сразу. Цена от 1500 не годится — нарушено первое условие, цена 6000 — второе. Это и есть система неравенств: $2000 \leqslant x < 5000$ .

Что такое система неравенств

Несколько неравенств, которые должны выполняться одновременно, объединяют фигурной скобкой:

\begin{cases} 2x - 1 > 3, \\ 5 - x > 0. \end{cases}

Число — решение системы, если оно подходит к каждому неравенству. Если хоть одно неравенство неверно, это уже не решение. Решить систему — найти все её решения или доказать, что их нет.

Пересечение на координатной прямой

Каждое неравенство решаем отдельно: $$x > 2$$ и $$x < 5$$ . Отмечаем оба луча на одной прямой — например, штриховкой сверху и снизу. Решения системы — там, где штриховки перекрываются: $$2 < x < 5$$ .

Координатная прямая. Сверху заштрихован луч от закрашенной точки −1 вправо (x ≥ −1), снизу — луч от пустой точки 3 влево (x < 3). Участок оси между ними, где штриховки перекрываются, выделен. — Решение системы — общая часть двух штриховок: −1 ≤ x < 3. Точка −1 входит (закрашена), точка 3 не входит (пустая).

Возможны три случая.

Промежутки частично перекрываются — ответ интервал или отрезок: $(2;\ 5)$ .
Один луч лежит внутри другого: у системы $$x > 9$$ , $$x > 1$$ общая часть — $$x > 9$$ (оставляем «более сильное» условие).
Общей части нет: $$x < -2$$ и $$x > 3$$ — решений нет.

Следите за концами. Нестрогое неравенство ( $\leqslant$ , $\geqslant$ ) — точка закрашена, конец входит, скобка квадратная. Строгое ( $$<$$ , $$>$$ ) — точка пустая, скобка круглая.

Двойное неравенство

Запись $$-1 < 3 + 2x < 3$$ означает систему $$3 + 2x > -1$$ и $$3 + 2x < 3$$ . Решать её удобно сразу, выполняя одно и то же действие со всеми тремя частями:

-1 < 3 + 2x < 3 \;\Rightarrow\; -4 < 2x < 0 \;\Rightarrow\; -2 < x < 0.

При делении всех частей на отрицательное число оба знака меняются, и крайние части удобно переставить: $$-6 < -3x < 3$$ даёт $$2 > x > -2$$ , то есть $$-2 < x < 2$$ .

Неравенства с модулем

Модуль $$|x|$$ — расстояние от точки $$x$$ до нуля на прямой.

$$|x| < a$$ (при $$a > 0$$ ): точка ближе к нулю, чем на $$a$$ . Это двойное неравенство $$-a < x < a$$ — система, ответ — один интервал.
$$|x| > a$$ : точка дальше от нуля, чем на $$a$$ , — слева или справа. Это $$x < -a$$ или $$x > a$$ — не система, а совокупность; ответ — объединение двух лучей $(-\infty;\ -a) \cup (a;\ +\infty)$ .

Так же решают $$|kx + b| < a$$ : пишут $$-a < kx + b < a$$ и решают двойное неравенство.

Как решать

Решите каждое неравенство системы отдельно и приведите его к виду $$x > c$$ , $x \leqslant c$ и т. п. При делении на отрицательное число меняйте знак неравенства.
Изобразите решения всех неравенств на одной координатной прямой, отметив, какие концы входят.
Найдите общую часть — участок, где выполняются все неравенства.
Запишите ответ промежутком или двойным неравенством; если общей части нет — «решений нет».
Если в задании просят целые решения — выпишите целые числа из ответа, проверив концы.

Разобранные примеры

База

Решаем систему

Условие

Решите систему $\begin{cases} 4x - 7 \leqslant 5, \\ 2 - 3x < 8. \end{cases}$

Решение

\begin{cases} 4x \leqslant 12, \\ -3x < 6; \end{cases} \qquad \begin{cases} x \leqslant 3, \\ x > -2. \end{cases}

Во втором неравенстве разделили на $$-3$$ и поменяли знак. На прямой: луч $(-2;\ +\infty)$ с пустой точкой $$-2$$ и луч $(-\infty;\ 3]$ с закрашенной точкой 3. Общая часть — $-2 < x \leqslant 3$ .

Ответ: (−2; 3]

Средний

Двойное неравенство

Условие

Решите двойное неравенство $-5 < 1 - 2x \leqslant 7$ и укажите его целые решения.

Решение

Вычтем 1 из всех частей: $-6 < -2x \leqslant 6$ .

Разделим все части на $$-2$$ , знаки меняются: $3 > x \geqslant -3$ , то есть $-3 \leqslant x < 3$ .

Целые решения: $$-3, -2, -1, 0, 1, 2$$ .

Ответ: [−3; 3); целые решения −3, −2, −1, 0, 1, 2

Сложный

Неравенство с модулем

Условие

Решите неравенство $$|2x - 1| < 5$$ .

Решение

Модуль меньше 5, значит, выражение под ним лежит между $$-5$$ и 5:

\[-5 < 2x - 1 < 5.\]

Прибавим 1: $$-4 < 2x < 6$$ . Разделим на 2: $$-2 < x < 3$$ .

Проверка на краях: при $$x = -2$$ и $$x = 3$$ модуль равен ровно 5, неравенство строгое — концы не входят.

Ответ: (−2; 3)

Типичные ошибки

Берут объединение вместо общей части

Почему неверно

Для системы $$x > 2$$ , $$x < 5$$ пишут «все числа», раз каждое число подходит хотя бы к одному неравенству. Но число 7 не удовлетворяет второму неравенству, а решение системы обязано подходить ко всем сразу.

Как правильно

В системе ищут пересечение: участок, заштрихованный дважды. Здесь это $(2;\ 5)$ . Объединение («или») нужно только в неравенствах вида $$|x| > a$$ .

Не меняют знак при делении на отрицательное число

Почему неверно

Из $$-3x < 6$$ получают $$x < -2$$ . Проверка: $$x = 0$$ подходит к $$-3x < 6$$ ( $$0 < 6$$ ), но не к $$x < -2$$ — значит, ответ неверен.

Как правильно

Деля или умножая обе части на отрицательное число, меняйте знак: $-3x < 6 \Rightarrow x > -2$ . В двойном неравенстве меняются оба знака.

Записывают $|x| > 3$ как $-3 > x > 3$

Почему неверно

Такая запись означает систему « $$x < -3$$ и $$x > 3$$ », у которой нет решений, хотя, например, $$x = 5$$ подходит: $$|5| = 5 > 3$$ .

Как правильно

$$|x| > 3$$ — это $$x < -3$$ или $$x > 3$$ , ответ $(-\infty;\ -3) \cup (3;\ +\infty)$ . Двойным неравенством записывают только $$|x| < a$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Решите систему неравенств $\begin{cases} x - 2 > 0, \\ x < 7. \end{cases}$

Подсказка

Из первого неравенства $$x > 2$$ . Найдите числа, которые больше 2 и одновременно меньше 7.

Решение

\begin{cases} x > 2, \\ x < 7. \end{cases}

Общая часть лучей $(2;\ +\infty)$ и $(-\infty;\ 7)$ — интервал $$2 < x < 7$$ .

Ответ

(2; 7)

База Задача 2

Является ли число 4 решением системы $\begin{cases} 2x - 3 > 4, \\ x + 1 < 6? \end{cases}$

Подсказка

Подставьте $$x = 4$$ в каждое неравенство.

Решение

Первое: $2 \cdot 4 - 3 = 5 > 4$ — верно.

Второе: $$4 + 1 = 5 < 6$$ — верно.

Оба неравенства верны, значит, 4 — решение системы.

Ответ

Да, является

Средний Задача 3

Решите двойное неравенство $-1 \leqslant 3x + 2 < 11$ .

Подсказка

Вычтите 2 из всех трёх частей, затем разделите все части на 3.

Решение

-1 \leqslant 3x + 2 < 11,

-3 \leqslant 3x < 9,

-1 \leqslant x < 3.

Левый конец входит (неравенство нестрогое), правый — нет.

Ответ

[−1; 3)

Средний Задача 4

Найдите все целые решения системы $\begin{cases} 5 - 2x > -3, \\ 3x + 4 \geqslant 1. \end{cases}$

Подсказка

Решите систему, а потом перечислите целые числа из полученного промежутка, проверив, входят ли его концы.

Решение

\begin{cases} -2x > -8, \\ 3x \geqslant -3; \end{cases} \qquad \begin{cases} x < 4, \\ x \geqslant -1. \end{cases}

Решение системы — $[-1;\ 4)$ . Число $$-1$$ входит, число 4 — нет.

Целые решения: $$-1, 0, 1, 2, 3$$ .

Ответ

−1, 0, 1, 2, 3

Сложный Задача 5

Решите неравенство $|x - 3| \leqslant 2$ .

Подсказка

Модуль не больше 2 — значит, выражение под модулем лежит между $$-2$$ и 2.

Решение

Неравенство $|x - 3| \leqslant 2$ равносильно двойному неравенству

-2 \leqslant x - 3 \leqslant 2.

Прибавим 3 ко всем частям: $1 \leqslant x \leqslant 5$ .

Смысл: $$|x - 3|$$ — расстояние от $$x$$ до точки 3 на прямой; оно не больше 2 для точек от 1 до 5.

Ответ

[1; 5]

Сложный Задача 6

Решите неравенство $$|2x + 1| > 5$$ .

Подсказка

Модуль больше 5, когда выражение под модулем меньше $$-5$$ или больше 5. Это не система, а «или».

Решение

$$|2x + 1| > 5$$ выполняется, если $$2x + 1 < -5$$ или $$2x + 1 > 5$$ .

Первое: $$2x < -6$$ , $$x < -3$$ . Второе: $$2x > 4$$ , $$x > 2$$ .

Подходят числа из обоих лучей, поэтому ответ — объединение.

Ответ

(−∞; −3) ∪ (2; +∞)

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на полоске бумаги числовую прямую. Попросите ребёнка заштриховать карандашом одного цвета все числа больше 2, а другого — все числа меньше 5. Решение системы — место, где есть оба цвета. Потом повторите для $$x < 1$$ и $$x > 4$$ : двойной штриховки нет — значит, решений нет.

Вопросы для проверки понимания: 1) Чем решение системы отличается от решения одного неравенства? 2) Как понять по рисунку, что у системы нет решений? 3) Почему $$|x| < 4$$ можно записать двойным неравенством, а $$|x| > 4$$ — нельзя?

На что обратить внимание. Чаще всего ошибаются в концах промежутков (строгий или нестрогий знак, круглая или квадратная скобка) и забывают менять знак при делении на отрицательное число. Полезная привычка — проверить ответ, подставив одно число изнутри промежутка и одно снаружи.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 40	973, 974, 975, 976, 977, 978, 979, 980, 981, 982, 983, 984, 985, 986, 987, 988, 989, 990, 991, 992, 993, 994, 995, 996, 997, 998, 999, 1000, 1001, 1002, 1003