Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 1054

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти целые решения системы: 6x(x − 1) − 3x(2x − 1) < x; 0,5x − 3,7 < 0,2x − 0,7.

Решение

Первое неравенство:

6x^2 - 6x - 6x^2 + 3x < x, \quad -3x < x, \quad -4x < 0, \quad x > 0.

Второе:

0{,}5x - 0{,}2x < -0{,}7 + 3{,}7, \quad 0{,}3x < 3, \quad x < 10.

Решение системы

\(0 < x < 10\)

; целые числа в этом промежутке: 1, 2, …, 9.

Ответ

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Почему так

Сначала решаем систему, затем выбираем целые числа из полученного промежутка (концы не входят).

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти целые решения системы: 0,7x − 3(0,2x + 1) ≤ 0,5x + 1; 0,3(1 − x) + 0,8x ≥ x + 5,3.

Решение

Первое неравенство:

0{,}7x - 0{,}6x - 3 \leqslant 0{,}5x + 1, \quad -0{,}4x \leqslant 4, \quad x \geqslant -10.

Второе:

0{,}3 - 0{,}3x + 0{,}8x \geqslant x + 5{,}3, \quad -0{,}5x \geqslant 5, \quad x \leqslant -10.

Оба условия выполняются только при

\(x = -10\)

— это целое число.

Ответ

−10

Почему так

Нестрогие неравенства x ≥ −10 и x ≤ −10 вместе дают единственное число.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти целые решения системы: 1/3·(3x − 2) + 1/6·(12x + 1) > 0; 1/7·(14x − 21) + 2/9·(9x − 6) < 0.

Решение

Первое неравенство умножим на 6:

2(3x - 2) + 12x + 1 > 0, \quad 18x - 3 > 0, \quad x > \frac{1}{6}.

Второе:

\dfrac{1}{7}(14x - 21) = 2x - 3

\dfrac{2}{9}(9x - 6) = 2x - \dfrac{4}{3}

, поэтому

4x - \frac{13}{3} < 0, \quad x < \frac{13}{12} = 1\frac{1}{12}.

Решение системы

\dfrac{1}{6} < x < 1\dfrac{1}{12}

; целое число в этом промежутке одно — 1.

Ответ

Почему так

Между 1/6 и 1 1/12 лежит только одно целое число.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти целые решения системы: 0,2(5x − 1) + 1/3·(3x + 1) < x + 5,8; 8x − 7 − 1/6·(6x − 2) > x.

Решение

Первое неравенство:

x - 0{,}2 + x + \frac{1}{3} < x + 5{,}8, \quad x < 6 - \frac{1}{3}, \quad x < 5\frac{2}{3}.

Второе:

8x - 7 - x + \frac{1}{3} > x, \quad 6x > 6\frac{2}{3}, \quad x > 1\frac{1}{9}.

Решение системы

1\dfrac{1}{9} < x < 5\dfrac{2}{3}

; целые числа: 2, 3, 4, 5.

Ответ

2, 3, 4, 5

Почему так

Решаем систему и выбираем целые числа между концами промежутка.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Найти целые решения системы: (z − 1)/2 − (z − 4)/3 > 2z − 1; 2z − (z − 5)/3 > 0.

Решение

Первое неравенство умножим на 6:

3(z - 1) - 2(z - 4) > 12z - 6, \quad z + 5 > 12z - 6, \quad -11z > -11, \quad z < 1.

Второе умножим на 3:

6z - z + 5 > 0, \quad 5z > -5, \quad z > -1.

Решение системы

\(-1 < z < 1\)

; целое число — 0.

Ответ

Почему так

Между −1 и 1 (концы не входят) лежит единственное целое число 0.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Найти целые решения системы: 3y − (1 + 5y)/4 < y; (4 − y)/5 − y − 1 < 0.

Решение

Первое неравенство умножим на 4:

12y - 1 - 5y < 4y, \quad 3y < 1, \quad y < \frac{1}{3}.

Второе умножим на 5:

4 - y - 5y - 5 < 0, \quad -6y < 1, \quad y > -\frac{1}{6}.

Решение системы

-\dfrac{1}{6} < y < \dfrac{1}{3}

; целое число — 0.

Ответ

Почему так

В промежутке (−1/6; 1/3) единственное целое число — 0.

Подробнее — в теме «Решение систем неравенств с одной переменной».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-4/upr-1054/