Задача 1
Условие (кратко)
При каких значениях a уравнение x² − 4ax + 4a² − 25 = 0 имеет два корня, каждый из которых больше 2? Задание повышенной трудности.
Решение
Левая часть содержит полный квадрат: \(x^2 - 4ax + 4a^2 = (x - 2a)^2\). Уравнение принимает вид
\[(x - 2a)^2 = 25, \quad x - 2a = \pm 5, \quad x_1 = 2a - 5, \quad x_2 = 2a + 5.\]
Корни различны при любом \(a\), причём \(x_1 < x_2\). Оба корня больше 2, если больше 2 меньший из них:
\[2a - 5 > 2, \quad 2a > 7, \quad a > 3{,}5.\]
Ответ
При a > 3,5
Почему так
Корни квадратного уравнения выражаются через a линейно, и условие на корни сводится к линейному неравенству.
Подробнее — в теме «Решение неравенств с одной переменной».